数学分析期末试题集(证明题部分).docVIP

一、不定积分部分 1.设具有可微的反函数。设是的一个原函数。试证明 。 证 在公式右端对求导，我们有 由不定积分的定义知,结论成立. 2. 设定义在上，，且有 ， 若在处连续，试证明在上存在原函数。 证 作函数如下： 则在处连续，由在处连续知，，故根据导函数的特征，即知。因而是在上的原函数。 3. 试证明下列命题： （1）（函数方程）设是上的可微函数，且满足 ， 则； （2）设在上连续，在内可微，且。则对，有，使得。 证 （1）取可得。将原式改写成为 可得 ， 由此知 ， 即的一般表达式为； （2）因为连续，所以存在原函数，记为，则作。 依题设易知，且在可微。又。由洛尔中值定理知，存在，使得 。 ???4. 设在上可导，若有 ， 试证明； 证 以替换可得 。 在上式两端对求导，我们有 ， 再对求导，我们有 ， 由此可知，从而得到。 因此； 5. 设且不恒为零。若有 ， 试证明（ⅰ）是偶函数；（ⅱ）求的表达式。 证 （ⅰ）设，则 ， 即是偶函数。此外，由； （ⅱ）记，则在中对求导，可知。再对求导知 ， 因为，所以（取） ， 由此即得。注意到，我们有，最后得。 二、定积分部分 1．证明:若在上连续非负,且不恒为零,求证. 证 设存在使得,由连续函数的局部保号性得,存在且,对任意的,有. . 如果或,使得,则考虑的半邻域,证法类似. 2． 证明由积分确定的连续函数零点定理：设在上连续，若，则，使得. 证 用反证法. 若对,由连续函数的零点定理可知,在上不变号.不妨设在上,由定积分的性质可得,此与条件矛盾,于是,必，使得. 3. 证明积分中值定理的加强形式,即:设与在上连续,且在上不变号,则一定,使得 . 证 因为与在上连续,且在上不变号,不妨设在上,由闭区间上连续函数的最大最小值定理,有,于是 . 由定积分的性质,可知,且 , 于是 . 再由连续函数的介值定理可知,,使得 , 即有 . 只需再证,使即可.为此将上述等式移项改写成为 , 注意到为上的连续函数,由第2题的结论知,,使得 ,又,因而.所以结论成立. 4. 证明:若在上连续,且,,则,. 证 (反证法) 若存在使得.因为在点连续,由连续函数的局部保号性,得,存在且,对任意的,有. . 此与条件矛盾.故结论成立. 5. 证明不等式. 分析: 因为在上为增函数,根据定积分的估值定理,应考虑在区间上的最大、最小值. 证 令,则在闭区间上的最大值和最小值分别为,因而,所以. 又因为在区间上连续,所以上述不等式中的等号均可以去掉,即所证不等式成立. 6. 设函数在上可积,在点处连续,.求证在点可导,且. 分析: 为证在点可导,且,应使用导数的定义.由题目的条件,本题的证明不能使用讲义中的定理6.13. 证 , . 由于在点处连续,因此对,使当时, , 限制,则 , 由导数的定义可得. 7. 设. (1) 证明是以为周期的周期函数; (2) 求的值域. (1) 证 ,取区间变换,则有,于是 , 故是以为周期的周期函数. (2) 解 因为在上连续,注意到的周期为,故只需在上讨论其值域即可.因为 , 令,得驻点.又 , 因而的最小值是,最大值是,所以函数的值域是. 8. 设均为上的连续可微函数,且,证明: (1); (2). 证 (1)由连续,所以关于可导,于是可用分部积分法,得到 , 由知,上述等号右端的第一项为零,于是 . (2) ,注意到,于是,将代入前面等式右端,即有. 9. 设为上的连续周期函数,周期为.证明的原函数必为周期函数与线性函数之和,且其周期函数的周期也为. 分析: 要证对,存在常数,使得, 且其中满足.为此,将表示为 , 记.故只需证明满足条件并求出常数即可. 证 令,则 令,所以 . 10. 若是连续的周期函数,周期为.证明: (1)函数满足,其中常数; (2)必为周期函数,其周期也为. 证 (1) (2) . 11. 证明不等式. 证 只需证明. 因为在区间内变号,故用定积分的区间可加性 其中,且有. 对上述等号右端第二个积分取变换,则,故 , 于是,结论成立. 12. 设在上连续,且满足.试证:,使得. 证 取变换,则,已知积分等式变为 . 注意到时,也有,因而在上连续,于是 . 由此可得,使得. 13. 设在上连续且单调减少,证明对任意的常数,有 . 证法1 只需证明积分.为此令,所以 , 故结论成立. 证法2 证法3 对,构造辅助函数,则在上连续且可导,,. 14. 已知是上的连续偶函数,证明:. 证 因为,所以 . 15. 设在区间上连续,为偶函数,为常数,且满足,证明:. 证 因为,所以 . 16. 设在上连续,且满足,证明: (1) 若在内可导,则存在,使得; (2) 若在内连续,则