数学命题的教学.docVIP

第二节 数学命题的教学 数学中的定义、公理、定理、公式、性质和法则等都是数学命题。由于数学命题是把概念联系起来，形成完整的数学学科的主干内容，因此，只有掌握好数学命题，才能通晓数学的体系结构，学好数学。有效的数学命题教学，有助于学生牢固掌握数学知识的结构，有助于数学思维的发展和解决问题能力的提高。数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件、结论，掌握数学命题的内容和表达形式，掌握命题的推理过程或证明方法，运用所学的数学命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答实际问题。并在此基础上，熟悉基本的数学思想和数学方法，弄清数学命题间的关系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系。一.公理的教学数学公理是无条件承认的相互制约的规定，是一些不证自明的命题。在理论形式上，公理是逻辑推理的大前提，是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定,它们的真实性不是由逻辑推理来确定的，而是经过人类长久以来的实践直接证实的。中学数学中的公理，大多出现在几何教材里。数学中的公理体系，要满足相容性、独立性和完备性。但是，对于中学生来说，完整的数学公理体系内容太多、太深，现行的初中几何教材采取扩大的欧式公理体系，来解决这个矛盾。在这个扩大的欧式公理体系中，所列的公理既有多余的，又有不足的，在独立性和完备性上都是不够严格的。在具体展开时，按照教学内容和学习顺序，根据需要逐步提出来。这样编排教材，既减少了学生学习上的困难，又有利于培养学生的推理能力。既然公理是不加证明的命题，其真实性又是长期生活、生产实践总结出来的，在中学数学中又是证明其他命题的出发点，所以，在教学中应该让学生很好地理解公理的真实性。这就要从日常生活中所熟知的实际事例或从给学生提供的实验资料等直观因素中，归纳地引进公理。1.从学生熟悉的事例归纳出公理。通过学生熟知的社会生活和生产实践中的事例来说明公理的含义和现实来源，使学生体会到公理的真实性和意义。这对于培养学生的辩证唯物主义世界观是有重要意义的。例如，在教学公理“两点确定一条直线”时，可以举出以下学生熟悉的事例：木工通过木板上的两点可以弹出一条直的墨线；园林工人在人行道上植树时，只要先定出两棵树的位置，就能定出一行树所在直线的位置；射击队员将枪上的“缺口”和“准心”两点确定的一条直线，延长后对准目标，即可射击命中；等等。还可在教学中做实验：在黑板上固定一点，可以引出无限多条直线；但再固定一点，两点间的连线就只能有一条，作不出第二条直线来。在此基础上，学生就会自然地用数学中的几何语言归纳出公理“两点决定一条直线，并且只能有一条直线。”2.在学生实践的基础上归纳出公理。例如，让学生用三角板推移的方法作出“过直线外一点且与已知直线平行的直线”；经过实践归纳出公理：“过已知直线外一点有一条直线和已知直线平行”；然后，让学生在原图上将三角板换一个角度再作同样的已知直线的平行线。实践结果表明：两次所画的平行线重合，从而又进一步归纳出公理：“过已知直线外一点只有一条直线和已知直线平行”。综合起来就得出了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。3.通过适当的练习，让学生巩固掌握结论、增加对公理认识的现实感，并学会将学到的公理作为演绎推理的依据和出发点，去推理证明其他问题。二.定理的教学数学定理包括代数中的公式、法则和几何中的定理、推论。在定理的教学中，要使学生认识定理的条件和结论；了解怎样探索证明的途径；明确定理的适用范围；掌握相关定理间的内在联系。为了达到上述教学目的，在定理教学中应该注意以下几方面。1.定理的引入。这是定理教学的一个重要环节，这一环节处理的好坏，对培养学生的创新意识和实践能力有直接的影响 通过实践、探索、猜想发现命题。在教学中有目的提出一些供研究、探讨的素材，对学生进行必要的启示引导，让学生在一定的情境中独立思考，通过运算、实践或观察、分析、类比、归纳、作图等步骤，探索规律、提出猜想、形成命题，然后再设法证明，获得定理。例如，“三角形内角和定理”，可以通过剪纸法把三角形三内角拼成一个平角或通过三内角的度量计算出三内角的和，从 而发现定理；球的体积公式可以通过细 沙实验来探讨；“两数和的平方公式” 可以通过多项式的乘法进行计算得出， 也可以通过作图（如图4-2），引导学生 分析图形中面积之间的关系得出。（2）通过已学过的定理过渡迁移引入。例如勾股定理表达了直角三角形三边的关系，由此联想到任意的三角形三边之间关系能否用公式表达，从而引出余弦定理的课题。这种引入方法，使学生感到新定理并不孤立，是旧知识的延拓和发展，同时也能培养学生按知识系统和结构去探索新知识的能力。2.认识定理的结构认识定理的结构是证明定理的基本出发点，它的主要任务是帮助学生分辨定理的条件和结论，发掘定理