数学历真题(高数部分).docVIP

1987年全国硕士研究生入学统一考试 一．(1)当=_____________时,函数取得极小值. (2)由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是_____________. (3)与两直线 及都平行且过原点的平面方程为_____________. (4)设为取正向的圆周则曲线积分= _____________. 二．求正的常数与使等式成立. 三．(1)设、为连续可微函数求 四．求微分方程的通解,其中常数 (1)设则在处 (A)的导数存在,且 (B)取得极大值 (C)取得极小值 (D)的导数不存在 (2)设为已知连续函数其中则的值 (A)依赖于和 (B)依赖于、和 (C)依赖于、,不依赖于 (D)依赖于,不依赖于 (3)设常数则级数 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与的取值有关 (4)设为阶方阵，且的行列式而是的伴随矩阵，则等于 (A) (B) (C) (D) 六．求幂级数的收敛域，并求其和函数. 七．求曲面积分 其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面,其法向量与轴正向的夹角恒大于 八．设函数在闭区间上可微,对于上的每一个函数的值都在开区间内,且1,证明在内有且仅有一个使得 1988年全国硕士研究生入学统一考试 一．(1)求幂级数的收敛域. (2)设且,求及其定义域. (3)设为曲面的外侧,计算曲面积分 二、(1)若则= _____________. (2)设连续且则=_____________. (3)设周期为2的周期函数,它在区间上定义为 ,则的傅里叶级数在处收敛于_____________. 三、(1)设可导且则时在处的微分是 (A)与等价的无穷小 (B)与同阶的无穷小 (C)比低阶的无穷小 (D)比高阶的无穷小 (2)设是方程的一个解且则函数在点处 (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域则 (A) (B) (C) (D) (4)设幂级数在处收敛,则此级数在处 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 四、(本题满分6分) 设其中函数、具有二阶连续导数,求 五、(本题满分8分) 设函数满足微分方程其图形在点处的切线与曲线在该点处的切线重合,求函数 六、（本题满分9分） 设位于点的质点对质点的引力大小为为常数为质点与之间的距离),质点沿直线自运动到求在此运动过程中质点对质点的引力所作的功. 九、（本题满分9分） 设函数在区间上连续,且在内有证明:在内存在唯一的使曲线与两直线所围平面图形面积是曲线与两直线所围平面图形面积的3倍. 1989年全国硕士研究生入学统一考试 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知则= _____________. (2)设是连续函数,且则=_____________. (3)设平面曲线为下半圆周则曲线积分=_____________. (4)向量场在点处的散度=_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当时,曲线 (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线 (2)已知曲面上点处的切平面平行于平面则点的坐标是 (A) (B) (C) (D) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A) (B) (C) (D) (4)设函数而其中 则等于 (A) (B) (C) (D) 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设其中函数二阶可导具有连续二阶偏导数,求 (2)设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算 的值. (3)计算三重积分其中是由曲面与所围成的区域. 四、(本题满分6分) 将函数展为的幂级数. 五、(本题满分7分) 设其中为连续函数,求 六、（本题满分7分） 证明方程在区间内有且仅有两个不同实根. 九、（本题满分9分） 设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大? 1990年全国硕士研究生入学统一考