数学实验教程实验(连续可微函数观察).docVIP

实验16 连续函数、可微函数与振荡函数数观察 实验目的 通过观察图像特征，加深理解一元连续函数连续与可微的区别。通过观察函数的振荡现象，学习从无序中寻找、发现规律，利用高等数学中的极限理论对规律的成因进行分析，猜想和验证。从而加强学生对理论知识的灵活应用能力，提高学生的分析问题、解决问题的能力。培养学生的创新意识和研究习惯。 预备知识 极限、连续、可微的概念 实验内容 【项目1】连续函数、可微函数观察 选定两个函数，如 ， 在点处连续，而连续可微，观察它们在点附近的图像的区别。 方法：分别作出函数在包含的一系列区间上的图像，并进行对比。 【Matlab程序】：参见Exm16Demo01.m。 【输出】：见图16-1。 【项目2】 处处连续处处不可微的函数例子---魏尔斯特拉斯函数 魏尔斯特拉斯函数是 （1） 级数（1）在中一致收敛，所以在上连续，它是无穷多个余弦曲线叠加而成的，记第n+1条曲线为 其周期为，振幅为。 余弦曲线的斜率（按绝对值计算）的最大值出现在它的零点处，我们用这个最大值来刻画它陡峭的程度，故不妨称为的陡度，即得的陡度就是 现令 为一整数，且， 所以的陡度又比的陡度大（ab）倍，所以构成函数（1）的正弦波就越来越窄，越来越陡，其振幅也越来越小。图1就b=1/2，a=5画出了级数（1）的三个部分和（程序参见Exm16Demo02.m）。 短划线是部分和：； 虚线是部分和：； 实线：。 图16-2（2）—（5）显示的是a=5,b=0.5，n=100时的部分和函数在点0.7附近的图像。 观察图像，我们可以想象由无穷多项正弦波叠加而成的函数的图像会成为一条“毛茸茸“的曲线，而有可能是一个不可求导的函数的图像。 事实上可以从理论上证明它在任一点处均不可微。  图16-2 函数Sn(x)的图形：a=5；b=0.5；n=100 【项目3】 函数在时的性质观察 作出函数的图形，考察在x=0附近函数的振荡现象。 【步骤1】 振荡现象观察 首先作出函数在区间[-1，1]，[-0.1,0.1]，[-0.01，0.01]，[-0.005，0.005]上的图形见图16-3-1。无论区间多么小，在x=0附近总是模糊一片，看不出任何有规律的变化。 【程序】：参见Exm16Demo03.m。【输出】：见图16-3-1。  图16-3-1 函数sin(1/x)在x=0附近的图形 【步骤2】 寻找振荡中的规律 考察离散点列，其中。例如取。画出这些离散点，见图16-3-2，发现点列有明显的规律，一条条离散的曲线形成网格状。 图16-3-2 散点列（1/n,sin(n)） 图16-3-2中每一条离散曲线是由哪些离散点形成的呢？由于是周期为的函数，先求出自然数n从1到100除以2(之后的余数，再将其由小到大排列，并求出该序列对应的自然数序列，我们猜想，这个序列应该很有规律，试试看。 【步骤3】 振荡规律探索 为探索图16-3-2所显示规律性，我们来分析的数值变化情况。考察自然数在模意义下的余数，编写程序求出是自然数1到200除以的余数按由小到大排列的数列m，以及该数列的序号列i，输出的m=0.0177 0.0354 0.0531 0.0708 0.1504 0.1681 0.1858 ……；i=44 88 132 176 19 63 107 151 195 …… 。 序列i很有规律，前面四个单增元素是等间隔的，公差为44。接下来的五个单增元素也是公差为44的等间隔数，后面的每个单增小节（四个或五个数）的公差均为44。因此，我们将以44为步长，作出离散点。对i取固定的值，这些离散点应该就是图4中的一条离散曲线。取i=0时输出的图形见图16-3-3（1）,作出了一条离散曲线，再分别取i=1, 2, 3, 4, 5，6，7， 又可作出7条离散曲线，见图16-3-3（2）。 由上述规律类推，当i取遍从500到543的所有自然数时，就可作出图16-3-2中的全部离散曲线，共44条。 【程序】：参见Exm16Demo03_2.m。 【输出】：见图16-3-3（3）。输出的图形正好是图16-3-2，与我们的预想一致。 图 16-3-3 探索规律 【步骤4】 实验总结 从高等数学中知道函数, 当时的极限不存在，在x=0附近函数是振荡的。通过这次实验，不仅直观看见这个振荡现象，同时经过深入探索，发现当x沿着x=1/n,（n为自然数）趋于零时，的分布呈现明显规律。进一步实验、分析发现（n=1,2,…，i为一固定自然数）形成一条离散曲线，当i取遍500到543中所有自然数后，（n=1,2,…，）便形成44条离散曲线，正好是的分布图形。 - 94 - 第二章