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§10 自动化车床管理 1999年全国大学生数学建模竞赛A题） 一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%． 　　工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同．工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障． 　　现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表．现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具． 已知生产工序的费用参数如下： 　　故障时产出的零件损失费用 200元/件； 　　进行检查的费用 10元/次； 　　发现故障进行调节使恢复正常的平均费用3000元/次(包括刀具费)； 　　未发现故障时更换一把新刀具的费用1000元/次． 　　1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略． 2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品．工序正常而误认有故障机产生的损失费用为1500元/次．对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略． 3）在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益．附:100次刀具故障记录(完成的零件数) 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 649 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 一）基本模型 假设1)刀具每加工件零件后定期更换，更换费用为（已知）； 2）每生产件零件定期进行检查，检查费用为（已知）； 3）在两次相邻的检查之间，生产任一零件时工序出现故障的概率均相等，记作； 4）检查时工序停止生产[注]，若发现该零件为不合格品，则进行调节使恢复正常（已知）； 5）工序故障时生产的零件均为不合格品，正常时均为合格品，而刀具故障占工序故障的95℅； 6）每件不合格品的损失费为（已知）； 7）刀具故障（寿命）的概率分布由所给100次故障记录确定． 模型 1）目标函数（工序效益）为生产每个零件的平均费用L，包括预防保全费用（刀具定期更换），检查费用，工序故障造成不合格品的损失费用． 由假设1，；由假设2，；由假设4，6，，其中为当相邻两次检查的后一次检查发现故障时，件零件中不合格品的平均数，为平均故障间隔．于是问题为确定使 （1） 最小．下面计算,． 2）的计算 由假设3，在相邻两次检查的后一次检查发现故障（概率为）的条件下，出现件不合格品（前件合格，下一件不合格）的概率为，，于是 （2） 上式经代数运算可得 将上式在处展开得 其中由于很小（见后面计算结果），将忽略．代入（1）得 （3） 3）的计算 首先，根据给出的100个数据算出无预防性更换时刀具故障平均间隔（即100个数据的平均值）为（件）．设非刀具故障平均间隔为，由假设5刀具故障占95℅，非刀具故障占5℅，则 ，从而（件）． 其次，在不考虑非刀具故障的条件下，计算定期（件）更换时刀具故障的平均间隔．由100个数据统计出刀具故障的经验概率分布，例如对完成的零件数作如下分组： 零件数 100～150 150～200 200～250 250～300 300～350 频率 零件数 350～400 400～450 450～500 500～550 550～600 600～650 频率 零件数 650～700 700～750 750～800 800～850 850～900 900 频率 如若件