数学模型A卷参考答案.docVIP

《数学模型》A卷参考答案及评分标准 一、简答题（每题5分，共20分） 1、什么是数学建模？（5分） 答：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构的过程。 2、什么是马尔萨斯人口指数增长模型？（5分） 答：马尔萨斯人口指数增长模型是马尔萨斯调查多年人口资料，得出人口增长指数不变的的假设，建立的人口指数增长模型，表达式如下： ， 3、数学模型有哪些主要特点？（5分） 答：模型的逼真性和可行性、模型的渐进性、模型的强健性、模型的可转移性、模型的非预制性、模型的条理性、模型的技艺性、模型的局限性。 4、数学模型按其表现特性有几种分法？（5分） 答：确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、离散模型和连续模型、线性模型和非线性模型。 二、某学校共200名学生，分A、B，C三个系，各有103，63，34人，现组织一个校学生会共21个代表席位，请试用较公平的方法为三个系分配学生会代表席位。（20分） 解：先按照比例计算结果将整数部分的19席分配完毕有： 然后用Q值法分配第20席和21席。（5分） 第20席：计算最大，于是这一席位应分给甲系。（10分） 第21席：计算最大，于是这一席位应分给丙系。 这样21个席位的分配结果是三系分别占有：11，6，4席。（5分） 三、融雪时间（20分） 一个顶角为900的锥体状雪堆，其体积融化的速率与锥面面积S成正比，其比例系数为.假设雪在融化过程中始终保持锥状.已知高为的雪堆在开始融化的1小时内，融化了其体积的.试求雪堆全部融化需要的时间。 答：如图.假设雪在融化过程中始终为顶角为900的圆锥体.其高为，底面半径为.（、t的函数）.于是.在时刻时，圆锥体积、锥面面积分别为： （1） 由假设条件，体积变化的微分方程模型为： （2） 再由（1）得：（10分） 解得： 又由已知条件 . 而 , 故. 雪堆全部融化 得 （小时）（10分） 四、某工厂厂长有权根据产品和销售情况制定某商品的价格。在产销平衡的前提下，设该商品售量（产量）为x，成本为q，售价为p，总收入与总支出为售量的线性函数。求该商品在利润最大时的最优价格。（20分） 解：依题意有： 总收入为：，总支出为：（5分） 由总收入与总支出为售量的线性函数，则有： （5分） 利润U可以表示为：（5分） 代入上式数据有： 要使利润最大，最优价格可以由得到，即有： 于是有最优价格为：（5分） 五、刹车距离（20分） 一辆汽车在司机猛踩刹车制动后6秒钟内停下，在这一刹车过程中，每一秒的速度值被记录了下来.如下表: 刹车踩下后的时间（秒） 0 1 2 3 4 5 6 速度（米/秒） 30 21 15 10 6 3 0 试建立汽车刹车踩下后运行距离的数学模型，并估算出刹车踩下后汽车最少滑过的距离和最多滑过的距离. 解：刹车踩下后汽车的运动是一个变速直线运动，设速度函数为. 现对区间进行分割：.近似代替，求和取极限，并由定积分定义，得 故所求数学模型为: （10分） 现考虑区间的6等分，并且=1.由实际意义知,是区间内单调减函数.在每个子区间上取右端点、左端点分别得到最小值和最大值.再由定积分定义知： 即：(米) , (米). （10分） 45o r