数学竞赛论几何.docVIP

2-2 数学竞赛中的几何问题 欧几里得几何虽然古老，但在提供几何直觉和理性思维方面仍有不可替代的教育价值（许多科技工作者由此而启蒙），因而，历来受到数学竞赛的青睐，平面几何证明已经属于IMO届届必考的内容，少则1题，多则2~3题．我国高中联赛加试（二试）和冬令营考试，也是年年必有平面几何题． IMO中的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主．立体几何题从第22届（1981年）开始已经20多年没有出现了，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的过旧，有的过难． 一、数学竞赛中的几何问题的三个层次 1．第一层次，中学几何问题． 这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材． 2．第二层次，中学几何的拓展 这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解． 3．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉 这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．这类问题离不开几何知识的运用、几何结构的分析，但关键是精巧的构思．不仅在组合设计中需要，在组合计数中也少不了构思． 二、IMO中几何问题的主要特征 IMO1-50届各类试题统计表 代数（82） 几何（93） 数论 （58） 组合（63） 其他 （6） 每届 合计 代 数 方 程 多 项 式 不 等 式 极 值 数 列 函 数 方 程 复 数、 三 角 平 几 证 明 平 几 轨 迹 平 几 作 图 立 体 几 何 离 散 数 学 组 合 几 何 合计 11 6 22 4 13 19 7 67 3 6 17 58 30 33 6 302 1 2，3 5 4 6 1 6 2 2 3 4,7 5,6 1 7 3 1 3 2,4 5 6 6 4 2 4 6 5 3,7 1 7 5 1，4 5 3 2 6 6 6 2,3 6 1 4 5 6 7 2，4 1 5 3 6 6 8 5 4 2,6 3 1 6 9 5,6 4 2 3 1 6 10 3 5 1 2,6 4 6 11 6 2 4 3 1 5 6 12 3 1 5 2,4 6 6 13 1 4 3 2,5 6 6 14 4 5 6 1,3 2 6 15 3 6 5 2,4 1 6 16 6 5 2 3 4 1 6 17 1 2 6 3 4 5 6 18 5 2 4 6 1 3 6 19 2 6 4 1 3,5 6 20 5 3 4 2 1 6 6 21 5 6 3 4 1 2 6 22 6 1,5 3,4 2 6 23 3 1 2,5 4 6 6 24 1 2,6 3,5 4 6 25 1 4 2,6 3,5 6 26 3 6 1,5 4 2 6 27 5 4 1 3,6 2 6 28 3 4 2 6 1 5 6 29 4 3 1,5 6 2 6 30 2,4 5 1,6 3 6 31 4 1 3 2,6 5 6 32 1,5 2,3 4,6 6 33 2 4 1,6 5 3 6 34 1 5 2,4 6 3 6 35 1 5 2 3,4 6 6 36 2 4 1,5 6 3 6 37 3 2,5 4 6 1 6 38 3 2 5,6 4 1 6