数理方程部分.docVIP

前 言  数学物理方程的研究对象是描述各种自然现象的微分方程、积分方程、函数方程等等。通常，《数学物理方程》教材中所研究的内容，着重是偏微分方程的三类曲型方程的定解问题。它产生于如振动和波动、流体流动、电磁场、弹性、热传导、粒子扩散等实际问题。  当前，数学技术已成为高科技的重要部分，数学建模、数值计算已越来越发挥重要作用，正在成为广大数学工作者特别是应用数学工作者和计算数学工作者广阔的用武之地，而数学物理方程是一门重要的基础课，是进一步学习现代数学知识的准备，是利用数学知识为经济建设服务的桥梁。数理方程教材中主要讨论基本理论和求解这些问题的一些方法和技巧。 本讲义是根据课程设置需要及本课程特点而编写的。由于理论内容涉及到的高等数学知识比较多且深，推导过程长，常使初学者难以掌握主要过程和整体思路，所以本讲义将重点放在这两个内容上。对于较深入（主要是理论证明方面）的知识或例题将在课堂补充讲解。另外，一些相对简单的推导过程留给读者（读者也可通过查阅参考书得到这些结果），一些繁琐而不重要的内容给予说明。这样，一方面可以使解决问题的过程变得精悍，减少读者的学习负担，另一方面，可以使读者通过这些推导练习加深对理论内容的理解，起到由点到面，循序渐近的作用，  由于准备仓促，遗漏及错误之处在所难免，在此作者表示歉意，并请读者指正。 主要参考书 复旦大学数学系主编《数学物理方程》，人民教育出版社；(数学系本科生用书) 戴嘉尊《数学物理方程》，东南大学出版社；(数学系本科生用书) 华南理工大学研究生处《数学物理方法》，华南理工大学出版社(工科硕士研究生用书) 杨秀雯等《数学物理方程与特殊函数》，天津大学出版社(工科硕士研究生用书) 第一章 典型方程和定解问题 §1.1 一些典型方程的推导 1.1.1 波动方程的推导 例1.1.1 弦的波动方程。  解 (1)假设 长为l且均匀柔软的弦，两端固定,其上作用一外力，作微小横振动. 建立数学模型 如图. 在弦上取微段 由弦均匀设线密度为(，由弦柔软知张力沿弦的切线方向，由弦作微小横振动可设───在时刻t弦上点x处单位长度上的作用力大小，设微段的重心处横坐标为(,并近似微段上各点处的力密度，则(如图)  ①水平方向合力：  ②铅垂方向合力： 称(1.1.1)为一维波动方程.当时称为非齐次方程；当f=0时称为齐次方程. 据题意给出弦上点所满足的偏微分方程及其它条件一并给出的定解问题： (3)求解(参§3.1)； (4)检验(§9.1). (5)改善假设，重新推导方程. 特别地，当弦的两端拉紧且弦只受重力作用时，方程为 故可忽略g，而有 例1.1.1’ 弹性直杆的纵向振动问题(题3). 例1.1.1” 锥体杆的纵向振动（复旦P11） 例1.1.2 薄膜的振动问题(天大P133) 例1.1.3 三维波动问题（南京P6） 1.1.2 热传导方程的推导 1．梯度与方向导数: 设则u的梯度和u沿方向的方向导数分别为 2．高斯公式: 3．热传导：热量总是从温度高的地方流向温度低的地方； 4．热传导学中的傅里埃（Fourier）实验定律： 例1.1.4 三维热传导方程的推导 解（1）假设： (2)建立数学模型： 设时刻t物体上点为常数,由各向同性可设比热系数为常数c──单位质量温度升高一个单位所需热量.则 例1.1.5 二维热传导方程的推导──请详细给出推导过程 例1.1.6 一维热传导方程的推导──请详细给出推导过程 这就是本书所研究的主要方程类型.弦振动方程描述波的传播现象，它具有对时间是可逆的性质；热传导方程反映了热的传导，物质的扩散是不可逆现象；而拉普拉斯方程描述平衡的状态，定常的状态.这三种方程所描述的自然现象的本质十分不同，因而这三种方程的性质也十分不同. 最后,我们指同前面讨论的三种情形虽然是相互排斥的，但并不包括二阶线性方程的所有情形. §1.2 初始条件与边界条件 初始条件： 用以说明初始状态的条件. 一般地，波动问题的初始条件有两个,即开始时的位移与开始时的速度 即开始时体内各点温度 边界条件： 用以说明边界上的约束情况的条件. 1. 第一类边界条件  如弦的振动问题中,当x=0端固定时，有. 又如杆上的热传导问题中,当x=0端温度分布为. 一般地，用S表示一维的某端点或二维区域的边界线或三维区域的边界面，则有 称为第一类边界条件. 2. 第二类边界条件  如弦的振动问题中,当x=