数理统计中的大抽样分布理论系统与题型题法.docVIP

一、 三大抽样分布的分布函数 综 述：根据大数定理和中心极限定理，但样本容量较大时（数学上一般要求），任 何分布都依概率收敛于正态分布，并可标准化为。 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎的函数分布， 集中表现为3大抽样分布规律。 考研数学中规定：的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积） 1． 分布（分布函数不要求掌握） 量纲模型： 性 质： 独立同， 可加性 证 明：由于 评 注 样本函数中的必需记住的数字特征 上分位点 定义为分布的分位数 2． 分布（分布函数不要求掌握） 独立同分布 独立 量纲模型： 性 质： t分布密度函数 上分位点 定义为分布的分位数 性质 分布具有对称性， 时， 3．分布（分布函数不要求掌握） X、Y相互独立，；量纲模型： 评 注 特别地，但。 例：假定来自正态整体的一个样本，求。 解： ①上分位点 定义为分布的分位数 ② 性 质 ● 证明结论 而 时 ● 证明结论 如下 二、数理统计中8大样本函数的分布（枢轴量）的详细证明 1． 单个正态总体 设为一系列简单随机样本，则有 若已知，需要估计的范围，则使用枢轴量 ； 证明一： 证明二： = = == = 故 评 注 公式 ① 是标准化随机变量的手段，也是确定复合随机变量分布的基础。 若未知，需要估计的范围，则使用枢轴量 ；且 独立 （是随机变量） 证 明： 已知，且相互独立， 令 ，且相互独立。 作下列正交变换： 正交变换不改变向量组的秩，由于相互独立，则相互独立，且都服从。 记 由上述变换矩阵等式易得： 正交变换不改变向量的长度，所以 评 注 有重要的应用价值，如计算。 若未知，需要估计的范围，则使用枢轴量 证明： 若已知，需要估计的范围，则使用枢轴量 （是常量） 证明： 2． 两个正态总体 （和独立同分布） ， 则有： 若已知，需要估计的范围，则使用枢轴量 证明： 若未知，但时，需要估计的范围，则使用枢轴量 其中： 证明： 如已知，需要估计的范围，则使用枢轴量 证明： 根据分布的意义，可以推知 如未知，需要估计的范围，则使用枢轴量 证明： 三、先进题型与求解秘技 陈氏密技 量纲法求复合统计量的抽样分布。 3种抽样源正态；量纲法则判类型。 根据定义凑模式；标准变量容量值。 【例1】设来自正态总体的简单随机样本，求，使得 。 解： 【例2】， 服从分布，求和自由度。 解： 同理 由的可加性知 所以 【例3】设相互独立，都服从，则统计量服从什么分布。 解： 的分子是分布，分母是分布，则必是分布。 根据分布定义，需要把分子和分母标准化，这需要利用公式① 【例4】设正态分布，又设，且与相互独立，求 的分布。 解：含有，可以预计容量应该是，分子量纲为分布，分母相当于，根据量纲法，可以推知结果是分布。 【例5】设 记 。则下列正确的是（ ）。 解：由于容量为的分布含样本方差，而是样本方差，不是，故立即可以否定。又只有才是标准的样本方差，由标准的推知不对。故选。事实上 【例6】为来自的简单随机样本，则下列哪个正确。 解：选 ，故排除； ，故排除； ，故排除； ，故正确。 【例7】，和独立，求。 解： 【例8】是来自正态整体的简单随机样本，已知 。 求分布。 解： 【例9】，来自的简单随机样本，则服从什么分布。 解：分子量纲为分布，分母量纲为也为分布，根据量纲法，可以推知结果是分布。下面具体计算如下 【例10】设，求和。 解：记，则。