《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数第.doc

第十六章 多元函数的极限与连续 §1 平面点集与多元函数 授课方式：课堂讲授 教学时数：2学时 教学目的与要求： 1、了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义。 2、了解的完备性。 3、 掌握二元及多元函数的定义 教学重点，难点：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，掌握的完备性定理 教学内容： 在前面各章中，我们所讨论的函数都只限于一个自变量的函数，简称一元函数.但是在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数.例如，矩形的面积，描述了面积和长、宽这两个变量之间的函数关系.又如，烧热的铁块中每一点的温度与该点的位置之间有着确定的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标表示时，温度由这三个变量所确定.如果进一步考虑上述铁块的冷却过程，那么温度还与时间有关，即的值由这四个变量所确定.这种两个、三个或四个自变量的函数，分别称为二元、三元或四元函数，一般统称为多元函数. 多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量由一个增加到多了，产生了某些新的内容，读者对这些内容尤其要加以注意.对于多元函数，我们将着重讨论二元函数.在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去. 一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域将是坐标平面上的点集.因此，在讨论二元函数之前，有必要了解有关平面点集的一些基本概念. 一 平面点集 由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系（今后如不特别指出，都假定是直角坐标系）之后，所有有序实数对与平面上所有的点之间建立了一一对应.因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说法看作是完全等同的.这种确定了坐标系的平面,成为坐标平面. 坐标平面上满足某种条件的点的集合，称为平面点集,并记作 例如全平面上的点所组成的点集是 平面上以原点为中心，为半径的圆内所有的点的集合是 而集合 则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作. 平面点集 与 分别称为为以点为中心的圆邻域与方邻域（图16-1）. 由于点的任一圆邻域可以包含在点的某一方邻域之内（反之亦然），因此，通常用“点的邻域”或“点的邻域”泛指这两种形状的邻域，并以记号或来表示，点的空心邻域是指 或 并用记号或来表示. 下面利用邻域来描述点和点集之间的关系. 任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系之一： (i) 内点—若存在点的某邻域，使得，则称点是点集的内点；的全体内点构成的集合成为的内部，记作. (ii) 外点—若存在点的某邻域，使得,则称是点集的外点. (iii) 界点—若在点的任何邻域内既含有属于的点，又含有不属于的点，则称是集合的界点.即对任何正数，恒有， 其中是关于全平面的余集,的全体界点构成的边界，记作. 的内点必定属于；的外点必定不属于；的界点可能属于，也可能不属于. 点与点集的上述关系是按“点在内或在外”来区分的.此外，还可按在点的近旁是否密集着中无穷多个点而构成另一类关系： (i) 聚点—若在点的任何空心邻域内都含有中的点，则称是的聚点，聚点本身可能属于，也可能不属于. (ii) 孤立点—若点，但不是的聚点，即存在某一正数，使，则称点是的孤立点. 显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点. 例 1 设平面点集 . 满足的一切点都是的内点；满足的一切点是的界点，它们都属于；满足的一切点也是的界点，但它们都不属于；点集连同它外圆边界上的一切点都是的聚点. 根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集. 开集—若平面点集所属的每一点都是的内点（即 ），则称 为开集. 闭集—若平面点集的所有聚点都属于，则称为闭集.若点集没有聚点，这时也称为闭集. 在前面列举的平面点集中，(2)所表示的点集是开集；(3)所表示的点集是闭集；(4)所表示的点集既非开集，有非闭集；而且