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新课程理念下数学问题的变式探究与反思 数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，新课程的基本理念又倡导积极主动、勇于探索的学习方式。毋庸置疑，课堂是教学改革的主阵地，课本的探究和例题、习题给我们提供了丰富的素材，如何用新课程的理念来改造，挖掘教材内容中适合学生探究的素材，研究什么？怎么研究？何时研究？是摆在我们广大教师面前的一大问题，以下是笔者在执教人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线和方程》过程中在讲完椭圆和双曲线以后，针对书本探究材料，进行变式探究和反思的案例。 探究 ：点A,B的坐标分别是,，直线相交与点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。与2.2例3比较，你有什么发现？ （附2.2例3点A,B的坐标分别是,，直线相交与点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程） 这是人教版选修2-1中2.3.1，第55页中的一个探究。探究问题的解决很容易，的轨迹方程为，且例三的轨迹方程是 。思考：探究与例3的区别在于条件中与的区别，所以很自然想到两直线斜率乘积的正负区别即当斜率乘积为正的时候轨迹是双曲线方程，当斜率乘积为负且时轨迹是椭圆方程。但它们应该属于同一种类型的题，我们不妨先来探究其中一种，另一种由类比应该可得。从所求的轨迹方程可以看到两直线斜率的乘积恰好是所求双曲线中的，而两点恰好是双曲线的左右顶点，想到是否具有一般化呢？于是有如下变式： 变式一：点A,B的坐标分别是,，直线相交与点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是 类比可得若点A,B的坐标分别是,，直线相交与点，且它们的斜率之积是 ，则点的轨迹方程是 思考：若斜率乘积为一个普通的常数呢？则有如下变式 变式二：点A,B的坐标分别是,，直线相交与点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是 可以看到变式二高度概括了变式一的两种情形，甚至包括当时轨迹为圆方程的情形。而且当时，A,B是否为椭圆的长轴或短轴视而定。接下去我们考虑点A,B在轴上的情形。 变式三：点A,B的坐标分别是,，直线相交与点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是 类比可得点A,B的坐标分别是,，直线相交与点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（注：此时） 结论：在轨迹是椭圆方程中，点A,B可能是椭圆的长轴也可能是短轴，但在双曲线方程中，点A,B就是双曲线实轴的顶点。 思考：如果把以上变式看做是原命题的话。那么它的逆命题是否成立呢？即已知双曲线方程和双曲线上异于顶点的点，它们的斜率乘积满足什么条件呢？ 变式四：双曲线方程，曲线上的顶点为点，点为异于顶点A,B的双曲线上一点，则. 若焦点在轴上的双曲线得到 变式五：双曲线方程：曲线上的顶点为为异于顶点A,B的双曲线上一点，则. 同样类比可得，椭圆方程，椭圆上顶点，点为异于顶点A,B的椭圆上一点，则 反思一：我们知道，如果，若A,B的坐标分别是,，点满足，则的轨迹方程是圆。且过圆心的任何一条直径的两端点与点的斜率乘积都为，那么类似的，双曲线上除了顶点以外，还有没有其它过中心两点与有这种关系呢？同理椭圆上除了长短轴上的顶点还有没有其它过中心的两点与也有这种或其它关系呢？于是有如下大胆的猜想： 变式六：设双曲线方程，若弦A,B过双曲线的中心，点是双曲线上异于A,B的一动点，且和存在，试判断是否为定值？并证明。 证明：如图所示设则， ==又因为点在双曲线上，所以， 则 所以得到= 若焦点在轴上的双曲线得到 变式七：设双曲线方程，若弦A,B过双曲线的中心，点是双曲线上异于A,B的一动点，且和存在， 同样类比可得：椭圆方程，，弦A,B过椭圆的中心，点椭圆上异与A,B的一动点，且和存在则=。 反思二：通过以上探究过程，充分感受到了这道书本探究给我们带来的数学魅力，也深刻体会到通过反思又给我们带来很有价值的新问题，尝到甜头的我们但总觉得似乎还意犹未尽。似乎还有东西可挖掘，因为通过变式六和七可以感觉到只要出现变量的平方差形式就可以得到一个定值，而平方差的形式又马上想到点差法处理中点弦的问题，这又是一种思维上的突破！而中点弦不需要过双曲线的中心，双曲线上任意两点的的斜率为，要出现平方差形式必须出现的形式，而这种形式显然是弦的中点与双曲线的中心连线的斜率，于是不过双曲线的中心得弦也能产生以下新的结论： 结论1.、设双曲线方程，弦不过双曲线的中心，且存在，的中点为，为坐标原点，则 证明：设，则 所以== 又因为点在双曲线上，所以， 则 所以 结论2、设椭圆方程椭圆方程，，弦不过椭圆的中心，且存在，的中点为，为坐标原点，则 这两个结论的得出，意味着使用该结论可以处理以前用点差法来处理的中点弦问题现举例说明。 例1.、（第62页B组习题4）已知双曲线 ，过点能否作一条直线，与双曲线交与A,B两点，且点是线段的中点。 解：假设能作直线