三、薛定谔方程.doc

量子力学的通俗讲座 季燕江 北京科技大学物理学系 jiyanjiang # 本作品采用知识共享 署名 2.5 中国大陆 许可协议授权粒子和波动我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t。有了时刻 t，我们对质点的描述就变成了（x,t,m），由此可定义速度v，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma（牛顿第二定律） 和 （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x和速度v即可求出以后任意时刻t质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x和v的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 现在我们就有了一个关于世界的整体图像：宇宙是由很多质点构成的复杂系统，它们两两之间相互作用由决 定，对每一个质点我们又可列出ΣF=ma这样的运动方程，ΣF表示每个质点所受的合力，与其他质点的位置有关，因此这是一个联立的二阶微分方程组。还是根 据数学的理论，如果我们知道了初始时刻t=0时每个质点的位置和速度，我们即可无限精确地知道系统内每个粒子的轨迹。这在哲学上被引申为所谓的决定论，我们会倾向于相信：世界只不过是个巨大的钟表，人生的命运是确定的，事物的演化也是确定的等等。 当然要想在某一时刻同时测量出全世界所有粒子的位置和速度是不可能的，但这种操作上的不可能性是否意味着--“某一时刻全世界所有粒子具有确定的位置和速度”--本身就不存在呢？有些人可能会持怀疑的态度，这个可称为怀疑主义的态度，由此引申怀疑主义者会怀疑整个世界的实在性，怀疑人类是否有能力认识世 界。另一些人会倾向于相信，当然这种相信并无充分的证据，相信的好处是我们可建立起一个关于世界的整体图像，整个世界变得有秩序了，可以理解了。 不管我们是否相信决定论，牛顿力学本身获得了巨大成功，解释了大到行星运动，小到苹果落地等广泛的现象，因此主流物理学家在100多年前相信牛顿力学提供了描述整个世界的基础。 波动的图像 到目前为止我们还没有讲波动，实际上在有了粒子的图像后，我们很容易把波动还原为很多粒子的集体运动。比如最简单的波动，抖动绳子可产生一维波。 要解释这样的波动现象，最简单的模型就是假想把绳子分成很多很多份，每部分很小以至我们可将其视为质点，质点间的力用弹性力表示。看起来这就是一根弹簧， 上面放了很多等质量的小球，如果你横向摇晃第一个小球，这种运动就会渐次地传递给其他小球，即所谓横波；如果你纵向压缩拉伸第一个小球，这种纵向的振动也会渐次地传递给其他小球，即所谓纵波。 由此可见波动是一种集体运动，是由很多粒子参与步调统一的运动。最简单的波动是单色平面波，即体现为正弦或余弦函数：。波动的特点是会传播出去，因此你很难说波的位置在什么地方，对单色平面波来说，波动更是充满整个世界，位置概念是没有意义的。但我们可以发现相邻波峰间距离总是相同的，于是可定义波长：，我们还可发现每个质点振动一个周期的时间也是相同的，因此可定义频率：。 很多质点的集体运动--“波动”--和“粒子”是很不同的，描述粒子的运动，使用位置和速度（有了分析力学之后，物理学家更习惯使用动量 p=mv 来代替速度），描述波动使用波长和频率。粒子的特点是分立的，每个粒子会集中地携带能量（），而波动的特