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第二章 Hilbert空间和空间 中的预报 §2.1内积空间及其性质 内积空间 定义2.1.1设是复数域,是上的线性空间,如果对于中任意的,都存在一个复数与其对应,满足条件 对任意 对 及 （3） 对一切，而且 成立的充分必要条件是 则称为中的内积，为复内积空间。 例1．设,如果定义 (2.1.1) 则是实内积空间. 例2. 定义2.1.2内积空间的任一元素的模定义为 (2.1.2) 欧氏空间中,向量的模即长度 (2.1.3) 内积空间的性质 Cauchy-Schwarz不等式: 设是内积空间,则对一切有 (2.1.4) 等式成立的充要条件是 (2.1.5) 内积空间内两元素之间的夹角 (2.1.6) 与正交的充要条件为 三角不等式 设是内积空间,则对一切,有 (2.1.7) 定理2.1.1(模的性质)设是复(实)内积空间, 由(2.1.3)式定义,则 对 对 对一切成立的充要条件为 平行四边形公式: 设是内积空间,则对,有 定理2.1.2(内积的连续性) 设是内积空间,是中的点列, , 当时,,则当时,有 (1) (2) §2.2 Hilbert空间、预报方程 Hilbert space 定义2.2.1 设是一线性空间,具有内积定义,并且是完备的(Cauchy列皆属于的极限点) ,则称为Hilbert空间. 例. 二、空间 设是概率空间,是定义在上的二阶矩有限的实随机变量的全体组成的集合,即 则是线性空间. 对,定义 (2.2.1) 为一内积. 中随机变量的模 空间中随机变量序列按模收敛定义为 称均方收敛于,记为 命题: 空间是完备的. 复空间内积: (2.2.2) 如果是测度空间上任一非零有限测度,是定义在上的满足如下条件的复值函数集合 (2.2.3) 定义内积 (2.3.4) 则是Hilbert空间,称其为复Hilbert空间,记为 引理2.2.1(按模收敛和柯西准则) 设是Hilbert空间中的点列,则按模收敛于的充要条件是,当 例. 投影定理和预报方程 例1. 例2. 定义2.2.2 (闭线性子空间) 设是Hilbert空间,是的线性子空间,如果,且当时,,有,则称是的线性闭子空间. 设是的线性子空间, ,当与中的一切元素正交时,称与正交,记为 . 定义2.2.3(正交补集) 设是Hilbert空间, 是的子集, 中所有与正交的元素的全体称为的正交补,记为.即 (2.2.10) 定理2.2.1（投影定理）设是Hilbert空间, 是的闭线性子空间,则，记为到的距离 存在唯一元素，使得 （2.2.11） 成立的充分必要条件是 且 (称为在上的投影)