最优化与数学规划.docVIP

第二章 最优化与数学规划 大家知道，最优化问题始终是数学中的一类基本问题，同时也是现代经济学中用来刻划经济问题的基本方法之一。最优化问题是求目标函数在无约束或在等式约束下最优值的问题，而数学规划则是求目标函数在等式约束和不等式约束下最优值的问题。下面我们将分别加以讨论。在下面的两节中，先回忆一下高等数学中学过的无约束和等式约束下目标函数取得极值的必要条件与充分条件。 §2.1 无约束下最优化的必要条件与充分条件 定理2.1 设y＝f（x），xD为一阶连续可微函数，若f（x）在D的内点处取得极值，则必须满足条件：。 定理2.2 设y＝f（x），xD为二阶连续可微函数，若f（x）在D的内点处满足 ，且，则当 （1）时，处取得极小值； （2）时，处取得极大值。 (图2.1) (图2.2) 定理2.3 设为一阶连续可微的二元函数，若 在D的内点处取得极值，则它的必要条件为 即 定理2.4 设为二阶连续可微的二元函数，若 在D的内点处，满足 即 令 ，，则 （1）当 时，处取得极小值； （2）当 时，处取得极大值。 证明：由二元函数的泰勒公式（取二阶近似）： 因为 ，所以，对邻近的任意有 其中 。由上式，若，则处取得极小值。 为使，则关于t的一元二次方程无实根，故其判别式小于零，即 ， 或 (2.1) 为了保证上述行列式为正，必须使 和 同号。所以， 若，当时，有，即时，这时f在处取得极小值。 若，泰勒展开式中只留下这一项二阶偏导数。则当时，f也在处取得极小值。 同理，为使，即方程无实根，其判别式 ，即，当时，有，二阶偏导数项小于零，这时f在处取得极大值。 定理2.3和定理2.4可以直接推广到下列n个自变量的定理2.5和定理2.6（不加证明）。 定理2.5 设为一阶连续可微，则f在D的内点 处取得极值的必要条件是： ，即 (2.2) 定理2.6 设为二阶连续可微的，若在D的内 点处满足 ， 即 (2.3) 以及对f的二阶偏导数的各阶主子式： ，，…， (2.4) (2.5) 注：令，则由矩阵理论知， 式(2.4)表示矩阵为正定，即时，f在x*处取得极小； 式(2.5) 表示矩阵为负定，即时，f在x*处取得极大。 §2.2 等式约束下最优化的必要条件与充分条件 现在来考察二元函数带等式约束的极值问题的必要条件。 设极值问题为： ，其中f ，g都是一阶连续可微的二元函数，若 在内点处取得极值，并设，则由微积分的隐函数定理，可在g(x1,x2)=0中确定了一个可导函数，满足，这样，就把带等式约束的极值问题转化为无约束的极值问题。 由已知条件知 ，而 ，代入上式，得： ，即 。写成行列式形式为 ， 由行列式的性质，为使上式成立，行列式中的两行成比例，令比例系数为，则有，即 令 ，称为该极值问题的Lagrange函数，则上式可以改写成： 将上述分析所得的结论写成下列的定理2.7。 定理2.7 (Lagrange) 设二元函数在等式约束下的极值问题为： 其中，f和g为一阶连续可微的二元函数，它取得极值的必要条件是最大化它的Lagrange函数，即 (2.6) 式(2.6)是对变量的无约束极值问题，它的必要条件为： (2.7) （注：本定理对极小值问题也一样！） 再考察二元函数带等式约束的极值问题的充分条件。 设极值问题： ，其中，f和g都是二阶连续可微函数，并设由隐函数所决定的一元可导函数为 。对 作全导数，得 ，所以 (2.8) 对 作全导数，得 (2.9) 对式(2.9)再求导得： 令 L＝ f +g，并变量求一阶、二阶导数，可得： ， 令 (2.10) (2.11) 在满足一阶必要的条件下有：，则 (2.12) (2.13) 定理2.8 设为二元二阶连续可微函数， 在等式 约束的条件下的极值问题： (2.14) 若在处满足一阶必要条件（定理2.7），则 (