最优控制模型(DP连续模型).docVIP

645六、最优控制模型：（动态优化模型， DP ――Dynamical programming） Ⅰ. 最速升降问题（或登月飞船软着陆问题） u(t) 问题：① 设有一个物体M（例如：直升飞机、升降机、 电梯）作垂直升降运动（设物体M的质量为m）； ② M内部装有一个控制器，产生一个控制作用力 g （时间的函数），用以控制M的上下运动，由 x(t) 于作用力大小有限，故满足一个约束不等式： x 问题：是要寻找一个合适的作用力的变化规律，使得最快的速度达到地点，而且：已知elevation的初始状态在时，M离开地面的高度为的垂直运动速度为。 解：物体M应满足的运动规律（即与时间变量有关的动态过程），因此，为描述物体运动的状态，令： ：为物体M离开地面的高度（时刻） ：为物体M在时刻的速度 于是物体在时的运动状态可描述成为： 状态方程： 同时应满足初始状态： 　　　　　　　　　　　 路径条件(终值状态)： 控制约束：　　 目标函数：寻找一个(闭的函数类)，使你所用的总时间最短，即使 　　　　　　　　取最小值 或：寻求一个 ，使得： 或：寻求一个，使得： 或者说：在容许控制的函数类中，找一个控制函数，使状态 从初始状态转移到终端状态(目标集：) (此问题中)， 　　而且使所用的时间最短，即：，如果满足上述条件的是存在的，则说是该系统的最优控制(或极值控制)，而把对应的状态叫做该系统的最优轨线(或极值轨线(，)叫最优对，叫最优性能指标。 注意：1.上述的极值问题，求，函数的定义域是函数类，因此是泛函。因此，求，使是求泛函的极值问题，故最优控制问题也称为泛函极值问题，所以常用的方法即变分法、极大值原理、动态规划等。 注意：Ⅱ性能指标(或目标泛函)的不同提法：按照系统设计者不同着眼点来考虑给出： 一般形式为： 例如：上述同一个问题可解释为：登月飞船的软着陆问题： 问题：登月飞船 着陆问题： f 设 ①飞船自重，所带燃料为，即 (飞船自重)月球重力加速度为； g ② 飞船登陆月球时要先靠发动机产生一个与月球重力 方向相反的推力所产生的加速度实现软着陆 （即登上月球时的速度为零） 问题：是如何选择最好的发动机推力程序，使燃料消耗最少。 解：约束条件及假设同升降机问题，即设 于是为约束方程： 状态方程： 初始状态： 终端状态：目标集S 控制约束： 控制力 受一定限制。 问题是：寻求一个合适的控制函数（从而设计出推进力的程序），使所消耗的燃料最少（即最多能带多少燃料）。 即： Ⅱ.　生产―库存―销售最优管理问题： 问题：生产量　　库存量　　销售量要保持在一个合理的水平上，即最优管理问题，即如何组织或控制生产量，使库存量与销售量保持平衡。 分析：库存量大 则 1. 积压资金周转；2. 库存费，损耗大。 　　　库存量小 则 1. 使商品脱销失去多获得利润的机会； 　　　　　　　　　　2. 用户因不能按合同提货，则厂方产品有被退货的风险，同样有失 去市场和赚钱的机会。 量化：：表示在时刻的实际库存量； 　　　　　　：表示在时刻的实际生产速度（生产率）； 　　　　：表示在时刻的实际销售速度（销售率）； 于是有以下条件来描述该系统的情况： 状态方程： 　　　　　 初态：　 终态：　未知 约束： 决策目标：（指标泛函）有两种提法： （i）求管理中的最优生产率――控制变量（决策变量），使生产费用和储存费用之总和最小。 生产费用：与生产率，时间有关，故记作：； 库存费用：与库存量，时间有关，故记作：； 于是最优管理问题：是求最优的生产率使总费用最小， . 即求：　　 使得：　　 s.t.　上述约束。 （ii）求管理中的最优生产率――控制变量（决策变量）， 使：生产率尽可能接近理想的生产率 由生产能力 　　库存量尽可能接近理想的库存量　和经验数据测定 理想水平是一个理想的平衡状态： 如有干扰（扰动或条件变化），例如，市场销售量的突然变化破坏了这种平衡，则应尽快通过控制变量（调整生产率），使该系统回到理想的平衡状态，此时的目标泛函应为： 最小，为常数。 即求：，使 s.t. 上述约束： Remark：（评注）上述最优控制的离散模型： 求，使得 s.t. 一般最优控制问题也可分为：线性、非线性、连续和离散型。 最优控制模