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8月27日练习题 1. 已知，则. 2. . 3. . 4. 若级数收敛，则的取值为. 5. . 6. =__________. 7. 对于函数的可去间断点是________. 8. 求的极值。 9. 设常数，函数在内零点个数为___________. 10.设连续，. 11.过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线所围成的图形面积最小？ 12.求级数的和. 13.设， 求 14.已知，求. 15.求级数的收敛域及其和函数. 16.计算曲线积分其中为曲线上点沿逆时针方向到该曲线上点的一段曲线. 17.计算曲面积分，其中为绕轴旋转一周所成曲面之下侧. 18.设，求常数. 19.设求. 20.计算二重积分其中积分区域为正方形区域. 21.当时，的导数与为等价无穷小，求. 22.设函数在上连续，且满足, 求. 23.设，其中是实数，且，试证：. 24.设在区间连续且大于零，试用二重积分证明不等式. 25.设在上连续，在内二阶导数连续，试证至少存在一点. 26. 设，求的值. 27. 求不定积分。 28. 求定积分。 29. 方程在内有几个实根？ 30. 求曲线在点的切线的参数方程。 31. 求幂级数的收敛域。 32．求幂级数的收敛域。 33. 设在上连续，，求证：在内至少有两个零点。 34. 已知在上连续,在内可导,且,,证明存在, 使. 35.已知,求常数. 36. 求二重积分，。 37. 设在可导，，求. 38. 设在上连续且单调减少，，求证：。 39. 设且单增，证明 . 40. 设，证明 . 41.已知有连续的导数,且, 求. 42.计算曲面积分,其中. 8月27日练习题解析 1. 已知，则 解析 因为，所以 2. 解析 3. 解析 令，则 4. 若级数收敛，则的取值为 解析 当时，级数发散，而 收敛（因为），所以时原级数发散.故 5. 解析：因为偶函数，为奇函数，它在对称区间上的积分值为0. 6. 解析 当时，，所以 故原极限等于. 7. 对于函数的可去间断点是 解析 可去间断点的可疑点为与.由于 ， 所以为第二类间断点.而 ， 在无定义，所以为可去间断点.故可去间断点为. 8. 求的极值。 解析 由 解得驻点为，所以，又，所以为极小值. 9. 设常数，函数在内零点个数为___________. 解析 由于，又 令得，且时，时，所以为极大值，且 于是在与上分别恰有一个零点，因而共有两个零点. 10.设连续，. 解析 应用洛必达法则与变上限积分求导公式，则 11.过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线所围成的图形面积最小？ 解析 在的切线方程为，即. 令，设此方程的两个解为，则 设抛物线下方，切线上方图形的面积为，则 令解得唯一驻点，且时，时，所以为极小值点，即最小值点.于是时切线与抛物线所围面积最小. 12.求级数的和. 解析 直接由公式 令，即得 原式= 13.设， 求 解析 令，则 14.已知，求 解析 由解得 于是，因此 15.求级数的收敛域及其和函数 解析 首先考虑幂级数，收敛域为，逐项求积分得，两边求导得 所以 令，且上式两边乘得原级数的和函数与收敛域为 16.计算曲线积分其中为曲线上点沿逆时针方向到该曲线上点的一段曲线. 解析 令则 且在全平面上偏导连续，所以存在原函数，用观察法看出，使得，于是 17.计算曲面积分，其中为绕轴旋转一周所成曲面之下侧. 解析 如图，作平面，取上侧，该平面与曲面所围立体区域记为，应用高斯公式，有 于是 这里为在平面上投影： 18.设，求常数 解析 原式左边应用洛必达法则，有 原式右边应用广义N—L公式，有 原式 于是，解得，即 19.设求 解析 由 令，得 所以 20.计算二重积分其中积分区域为正方形区域 解析 如图，用将积分区域分割为与，则 21.当时，的导数与为等价无穷小，求 解析 因为 所以 因为与是等价无穷小，所以与为等价无穷小，即 所以 22.设函数在上连续，且满足 求 解析 采用极坐标将二重积分化为定积分，有 代入原式得 两边求导数 此为一阶线性微分方程，其通解为 由得，于是