有限差分法模拟维(维)谐振子().docVIP

目 录 第一章 概述 1 第二章 有限差分方法 2 2.1 有限差分法基本思想 2 2.2 差分方程组的求解 2 第三章 求解谐振子的微分方程 4 3.1 一维谐振子 4 3.2 二维各向同性谐振子 6 第四章 总结 9 参考文献 10 附录 11 第章 概述 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。　　，在差分网格非常多和情况下，利用并行计算方法对其进行区域分解，每个进程负责运算一部分区域，区域边界之间进行必要地通信可有效提高计算速度，解决更大规模的问题。往往只讨论它在静态场中的应用，即泊松方程或拉普拉斯方程的有限差分形式，很少涉及到它在时谐场（即亥姆霍兹方程）中的应用。本文重点讨论亥姆霍兹方程的有限差分形式以及它在时谐场中的应用。同时，有限差分法（finite difference method）是基于差分原理的一种数值计算方法，在求解微分方程定解问题中广泛应用。有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用离散的函数值构成的差商来近似逼近相应的偏导数，而所谓的差商则是基于差分的应用的数值微分表达式。用离散的只含有有限个未知量的差分方程组去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把差分方程组的姐作为威风方程定解问题的近似解.有限差分法可以处理几乎所有形式的势函数，且主程序不依赖于势函数的具体形式，对于多数两字体都可以进行相对准确的计算。因此，将有限差分法应用于量子力学本征值问题的计算，有助于相对准确地进行量子体系和形象直观地教学研究。 量子力学教程中队一维无限深势阱、线性谐振子、氢原子等量子体系的薛定谔方程进行了严格的求解，得到了描述体系状态的波函数和能量的精确解。多数量子体系的哈密顿算数比较复杂，薛定谔方程不能严格求解，因此，研究和发展薛定谔方程的数值计算方法具有重要意义。 第章 有限差分方法 2.1有限差分法基本思想 ，给出有限差分法数值计算的基本思想： 区域的离散或子区域的划分。 插值函数的选择。 方程组的建立。 方程组的求解。 2.2差分方程组的求解 2.2.1高斯-赛德尔迭代法 选取初值。其中（0）表示0次近似值；下角标表示节点所在位置，即第行列的交点。再按下式 其中 (2-1) 反复迭代，一直进行到对所有节点满足下列条件为止。 (2-2) 式中，是预定的最大允许误差。 在高斯-赛德尔迭代中，网格节点一般按“自然顺序”排列，即先“从左到右”，再“从上到下”排列，如图2-1所示； 2.2.2 逐次超松弛法 ，则可得 (2-3) 按式(2-1)迭代理想的收敛情况是所有内点的点位函数的余数为零，但这是不可实现的，余数时正时负，时大时小，当网格很大时，收敛的速度很慢，这就需要改小网格，但迭代的次数将随之增加。逐次超松弛法就是在高斯-赛德尔迭代法中引入了加速收敛因子对其进行校正，即 (2-4) 其中称为“加速收敛因子”，是一个供选择的参数，其值在之间，该方法的快慢与有着明显的关系。实践表明，如果选得好，可以较快的加速迭代的速度。经验表明正方形场域由正方形网格划分，每边节点数为时，最佳的收敛因子为， (2-5) 第章 求解谐振子的微分方程 3.1一维谐振子 (3-1) 边界条件 , (3-2) 去长度单位为，能量单位为，引入无量纲参量，，，则式(3-1)化为无量纲形式 = (3-3) 令=，=，1，1，式(2-3)可写为 (3-4) 式(3-2)可写为 (3-5) 考虑式(3-5)，式(3-4)可写为，其中 S=， S为三对角矩阵，是大型稀疏矩阵，用Matlab编程计算可同时得到矩阵S的本征值和本征矢．表3-1是取不同格点、步长值时一维谐振子能量E的数值计算结果与精确解的比较，从表3-1可以看出有限差