机械系统的理论建模.docVIP

第1章 机械系统的理论建模 目前，对机械结构动态性能的研究主要有三种基本方法，即理论建模及分析方法、实验建模及分析方法和二者相结合的方法。 所谓理论建模及分析方法是基于结构动力学原理，根据结构的设计方案、图样、先验知识和资料等建立起模拟机械结构动力特性的动力学模型，而无需依赖于已有的机械设备。通过对该动力学模型的分析计算，即可获得该机械结构各种模拟的动力特性。这不仅可以检验其动力特性是否满足设计目标，是否需要对结构进行修改，还可以通过对理论模型的计算机仿真，预估结构设计及其改进后的动力特性或对其进行动态优化设计。所以，理论建模及分析方法，可以在机械结构设计方案具体实施之前，建立其动力学模型，利用计算机进行模拟仿真，对各种设计方案反复进行比较、修改，使其动态特性逼近设计目标函数的要求。从而可经济、迅速地达到优化设计的目标，把提高机械结构动态性能的问题解决在方案及图样设计阶段。 理论建模及其分析方法的不足，在于建立能够确切模拟机械结构动力特性的动力学模型较为困难，就目前的各种理论建模方法而言，都存在一些难以确定的因素，如难于对机械结构各种工况下的边界条件考虑和处理得与实际工况完全吻合，也难于把机械结构中各种结合部来的误差，影响了所建动力学模型的模拟精度。所以，提高理论模型对机械结构动态性能的模拟精度，使之满足工程实际的需要，是机械结构动态性能理论分析方法必须解决的首要问题。 目前，对一般机械结构的理论建模，除应慎重使用集中参数法或传递矩阵法建模外，最主要的建模方法是有限元法。因此，本章首先讨论有限元及其建模方法，包括静态有限元法和动力学问题官限单元法。然后讨论在机械结构动力分析中常用的另外两种理论建模及分析方法：集中参数法和传递矩阵法。 有限单元法是20世纪50年代初期根据变分原理发展起来的一种强有力的数值近似解法。该方法以计算机为手段，采用分割近似，进而逼近整体的研究思想求解数学物理问题。目前，有限元法已在许多领域成为分析、解决工程和数学物理问题的有力工具。 由于弹性力学问题静态有限元法的理论与方法均已成熟，有着丰富的书籍和资料，因此，本章只讨论静态有限元方程的建立，以其说明弹性力学和变分法等通用力学、数学原理与有限元法的关系，并简述静态有限元法的分析过程，直接给出常用单元的位移模式及计算公式。若要对此部分内容作详细了解，可参见有关书籍。本章还将讨论动力学问题有限单元建模方法。顺便指出，本章所讨论的变分法及其近似解法，也是后续内容“机械系统动态性能的最优控制”和“动态优化”的理论基础。 1．1 有限单元法的预备知识 1908年，瑞士科学家里兹首先提出用变分法处理弹性薄板问题，开创了弹性力学中直接求解泛函极值问题的近似解法。后经人们的长期努力，形成了变分问题直接解法中最重要的里兹法。里兹法不从微分方程出发，而是根据某个物理问题建立其泛函表达式，并根据某种泛函驻值条件，直接求解泛函极值的近似解，从而使变分解法具有了重要的实用意义。因为人们发现并在数学上得到证明：在连续介质问题中，许多物理、力学问题既可以转化为微分方程的定解问题，也可以归结为变分极值问题，它们的表达形式不同，但却是等价的。例如，图1-1所示等截面梁的横向弯曲平衡方程可用材料力学方法建立，也可由变分法求得。 设梁的抗弯刚度为EJ，受分布载荷q(x)作用产生下弯变形w(x)，两端固定的边界条件为 w(0)=w(0)=0，w(l)＝w(l)＝0 (a) 图1-l梁的横向弯曲简图 由材料力学知，等截面梁挠曲线的近似微分方程为 d2w(x)/dx2＝M(x)/(EI) (b) 式中，M(x)为梁横截面上的弯矩。若梁横截面上的剪力为Q(x)，则有如下关系 dQ(x)/dx＝q(x) ； dM(x)/dx＝Q(x) 或 d2M(x)/dx2＝dQ(x)/dx＝q(x) (c) 将式(c)代人式(b)，即可得等截面梁的横向弯曲平衡方程 EId4w(x)/dx4- q(x)＝0 (d) 用变分原理导出梁的平衡方程如下： 在梁达到平衡时，梁和载荷作为整体的势能达到最小值。梁的势能是梁在弯曲时所取的弯曲能，其值为 (e) 另外裁荷q(x)的势能在梁弯曲变形w(x)的位移中降低 (f) 所以，梁和载荷作为整体时的总势能为 (g) 平衡条件为总势能达到最小值，即 δU＝0 (h) 式(g)的变分