李贤平《概率论与数理统计》答案.docVIP

第5章 极限定理 1、为非负随机变量，若，则对任意，。 2、若，为随机变量，且，则关于任何， 。 4、各以概率取值和，当为何值时，大数定律可用于随机变量序列的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）； （2）； （3）。 7、若具有有限方差，服从同一分布，但各间，和有相关，而是独立的，证明这时对大数定律成立。 8、已知随机变量序列的方差有界，，并且当时，相关系数，证明对成立大数定律。 9、对随机变量序列，若记，，则服从大数定律的充要条件是。 10、用斯特灵公式证明：当，而时， 。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。 13、求证，在时有不等式。 14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，，则不管是如何大的常数，总有。 15之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。 16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率：并进行比较。这里是次贝努里试验中成功总次数，为每次成功的概率。 17、现有一大批种子，其中良种占，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与之差小于1%的概率是多少？ 18、种子中良种占，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？ 19、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。 20、设分布函数列弱收敛于连续的分布函数，试证这收敛对是一致的。 22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。 24、若的概率分布为，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。 25、随机变量序列具有分布函数，且，又依概率收敛于常数。试证：（I）的分布函数收敛于；（II）的分布函数收敛于。 26、试证：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）是常数； （6）； （7）常数； （8）； （9）常数； （10）是随机变量； （11）。 27、设。而是上的连续函数，试证。 28、若是单调下降的正随机变量序列，且，证明。 29、若是独立随机变量序列，是整值随机变量，，且与独立，求的特征函数。 30、若是非负定函数，试证（1）是实的，且；（2）； （3）。 31、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。 33、若母体的数学期望，抽容量为的子样求其平均值，为使，问应取多大值？ 34、若为相互独立随机变量序列，具有相同分布，而，试证的分布收敛于上的均匀分布。 35、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。 36、用特征函数法证明，普阿松分布当时，渐近正态分布。 计算的特征函数，并求时的极限。 38、设独立同分布， ，则大数定律成立。 39、若是相互独立的随机变量序列，均服从，试证及渐近正态分布。 40、设是独立随机变量序列，均服从均匀分布，令，试证，这里是常数，并求。 41、若是独立同分布随机变量序列，，若是一个有界的连续函数，试证 。 42、若是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证。 44、设是上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列，在上一致收敛于。 45、设是独立随机变量序列，试证的充要条件为，对任意有。 46、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。 48、举例说明波雷尔——康特拉引理（i）之逆不成立。 49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若，则必有。 53、若是独立随机变量序列，方差有限，记。 （1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明 （2）对上述，证明若，则收敛； （3）利用上题结果证明对成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。 54、（1）设为常数列，令，试证收敛的充要条件是； （2）(Kronecker引理)对实数列，若收敛，则。 56、设是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，则对成立大数定律的充要条件为。 57、设是独立同分布随机变量序列，且对每一个有相同分布，那么，若，则必须是变量。 58、设是独立随机变量序列，且服从，试证序列：（1）成立中心极限定理；（2）不满足费勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必要条件。 59、若是独立随机变量序列，服从均匀分布，对服从，证明对成立中心极限定理，但不满足费勒条件。 60、在普阿松试验中，第次试验时事件A出现的概率为，不出现的概率为，各次试验是独立的，以记前次试验中事件A出现的次数，试证：（1）；（2）对成立中心极限定理的充要条件是。 61、设独立，服从均匀分布，问对能否用中心极限定理？ 62、试问对下列独立随机变量序列，李雅普