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极限(理)函数的连续性及极限的应用.docVIP

极限(理)函数的连续性及极限的应用.doc

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极限(理)函数的连续性及极限的应用

14.4 函数的连续性及极限的应用 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.函数的连续性 一般地,函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件: (1)函数f(x)在点x=x0处有定义;(2)f(x)存在;(3)f(x)=f(x0).如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义,而且f(x)=f(x0),就说函数f(x)在点x0处连续. 2.如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值. 3.若f(x)、g(x)都在点x0处连续,则f(x)±g(x),f(x)·g(x),(g(x)≠0)也在点x0处连续.若u(x)在点x0处连续,且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处也连续. 链接·提示 (1)连续必有极限,有极限未必连续. (2)从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的. 二、点击双基 1.f(x)在x=x0处连续是f(x)在x=x0处有定义的________________条件.( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析:f(x)在x=x0处有定义不一定连续. 答案:A 2.定义f(-1)使函数f(x)=在x=-1处连续,则( ) A.f(-1)=1 B.f(-1)=-1 C.f(-1)=2 D.f(-1)=-2 解析:f(x)=(1-x)=2. 答案:C 3.四个函数:①f(x)=;②g(x)=sinx;③f(x)=|x|;④f(x)=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是__________________.(把你认为正确的代号都填上) 答案:②③④ 4.若函数f(x)=在定义域内连续,则c=____________________. 解析:f(x)=-2+c,f(x)=5,f(-1)=-2+c. ∵f(x)在定义域内连续,∴-2+c=5.∴c=7. 答案:7 诱思·实例点拨 【例1】 (1)讨论函数f(x)=在点x=0处的连续性; (2)讨论函数f(x)=在区间[0,3]上的连续性. 剖析:(1)需判断f(x)=f(x)=f(0). (2)需判断f(x)在(0,3)上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续. 解:(1)∵f(x)=-1,f(x)=1, f(x)≠f(x), ∴f(x)不存在.∴f(x)在x=0处不连续. (2)∵f(x)在x=3处无定义, ∴f(x)在x=3处不连续. ∴f(x)在区间[0,3]上不连续. 【例2】已知函数f(x)=()·x(x≥0). (1)化简函数表达式并作出函数的图象; (2)讨论函数f(x)在x=1和x=处的连续性. 剖析:对x的取值进行讨论,可确定函数f(x)的解析式,再利用函数连续性的定义. 解:(1)当x1时,==-1; 当0≤x1时,=1;当x=1时,f(x)=0. 综上所述,f(x)= 函数图象如图所示: (2)f(x)=(-x)=-1, f(x)=1,f(x)≠f(x). ∴f(x)不存在. ∴f(x)在x=1处不连续,f(x)=x==f(). ∴f(x)在x=处连续. 讲评:本题以求函数的极限为背景,主要考查了学生的分类讨论的思想及函数的连续性的定义. 【例3】如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a0)个单位后,向左转90°,前进ar(0r1)个单位,再向左转90°,又前进ar2个单位,…,如此连续下去. (1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队? (2)若其中的r为变量,且0r1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上? 剖析:(1)小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置. (2)可先求最终目的地关于r的参数形式的方程. 解:(1)由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q(x,y),则x=a-ar2+ar4-…==, y=ar-ar3+ar5-…=, ∴大本营应在点(,)附近去寻找小分队. (2)由,消去r得(x-)2+y2=(其中x,y0), 即行动的最终目的地在以(,0)为圆心,为半径的圆上.

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