极限部分.docVIP

说明：请用A4纸大小的本来做下面的题目（阴影部分要学完积分之后才能做） 第一章 函数与极限 一、本章主要知识点概述 1、本章重点是函数、极限和连续性概念；函数是高等数学研究的主要对象，而极限是高等数学研究问题、解决问题的主要工具和方法。高等数学中的一些的重要概念，如连续、导数、定积分等，不外乎是不同形式的极限，作为一种思想方法，极限方法贯穿于高等数学的始终。 然而，极限又是一个难学、难懂、难用的概念，究其原因在于，极限集现代数学的两大矛盾于一身。（1）、动与静的矛盾：极限描述的是一个动态的过程，而人的认识能力本质上具有静态的特征。（2）无穷与有穷的矛盾：极限是一个无穷运算，而人的运算能力本质上具有有穷的特征。极限就是在这两大矛盾的运动中产生，这也是极限难学、难懂、难用之所在。 连续性是高等数学研究对象的一个基本性质，又往往作为讨论函数问题的一个先决条件，且与函数的可导性、可积性存在着不可分割的逻辑关系。 2、从2001年第一届天津市大学数学竞赛至今共八届竞赛试题分析，函数极限及其连续性在有的年份占了比较大的比重，连续性、极限与导数、积分等综合的题目也要引起足够的重视；从最近几年的考题也可以看出，有个别题目是研究生入学考试题目的原题，如2004年竞赛试题二为1997年研究生入学考试题目；2006年竞赛试题一为2002年研究生入学考试试题；2005年竞赛试题一为1997年研究生入学考试试题等，这也从侧面反映了部分试题难度系数。 二、证明极限存在及求极限的常用方法 1、用定义证明极限；2、利用极限的四则运算法则；3、利用数学公式及其变形求极限；（如分子或分母有理化等）4、利用极限的夹逼准则求极限；5、利用等价无穷小的代换求极限；6、利用变量代换与两个重要极限求极限（也常结合幂指函数极限运算公式求极限）；（2）利用洛必达法则求极限；7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求极限；8、利用函数的连续性求极限；9、利用导数的定义求极限；10、利用定积分的定义求某些和式的极限；11先证明数列极限的存在（常用到“单调有界数列必有极限”的准则，再利用递归关系求极限）12、数列极限转化为函数极限等。当然，这些方法之间也不是孤立的，如在利用洛必达法则时经常用到变量代换与等价无穷小的代换，这大大简化计算。 对于定积分的定义，要熟悉其定义形式，如；。 三、例题分析 （一）函数及其运算 1、，求函数的定义域。 2、设，，且，求极其定义域。 3、（2001年研究生入学考试） 设，求。 4、（1997年）设，，求。 （二）极限的运算 要灵活运用极限的运算方法，如初等变形，不仅是求极限的基本方法之一，也是微分、积分运算中经常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角变换、求和等。 5、设，证明存在，并求此极限值。 6、求。 7、（2000年数学一）求。 8、（2000年）若，计算 。 9、（96年）求。 10、证明。 11、求，。 12、设，求 。 13、求。 14、求。 （四）连续函数的性质及有关的证明、极限与导数、积分等结合的综合性题目。 16、（2006年数学一） 设数列满足 （1）证明存在，并求该极限；（2）计算 。 17、求，其中在点的某领域内有三阶连续导数，，。 18、设函数连续，且，求极限 。 （五）无穷小的比较与无穷小的阶的确定 常用工具——洛必达法则与泰勒公式。 19、时，是的 阶无穷小。 20、 ， 。 （六）由极限值确定函数式中的参数 求极限式中的常数，主要根据极限存在这一前提条件，利用初等数学变形、等价无穷小、必达法则、泰勒公式等来求解。 21、若，则a =，b = . 22、已知，求。 23、已知，求 24、确定常数，使，求。 四、练习题 1、 = 。 2、求。 3、求。 4、求。 5、求 。 6、求。 7、求。 8、求 。 9、已知：，求 。 10、求 。 11、求。 12、求 。 13、当时，与是等价无穷小，求k。 14、求 。 15、求 。 16、求 。 17、等于 （A）.（B）.（C）. （D） 。 18、求极限。 19、求 。 20、求 。 21、设求 。 22、求 。 23、求 。 24、设在处可导，， 。 25、求 。 26、设，，求。 27、求 。 28、已知，，，当时都是无穷小，按照关于的阶数排由低到高为