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零点状态函数与极限环 ???  我们知道二次系统中极限环的研究和函数零点研究方法类似。在本论文中，我们考虑Lienard方程 , ，给出方程的一个状态函数并且研究其零点。最后，我们得到这个函数的极限环的存在唯一性。 1.引言 二次系统中极限环的研究方法和函数零点研究方法的相似性是众所周知的。例如，庞加莱-本迪克松的环域类似于问题：如果连续函数Φ (x)满足Φ (a) 0和Φ (b)0，那么Φ（x）=0在（a,b）上至少存在一个实根,由点变换法或比较法研究知极限环的唯一性类似于以下问题：Φ (x)=0至少有一个实根;考虑系统存在至多两个极限环类似于问题：如果符号固定，那么Φ (x)=0存在最多两个实根，等等。  在本论文中，我们考虑Lienard方程 或它的等效系统  , , () , (*) （1） 给出（*）的一些状态函数并研究其零点。最后，我们得到（*）的极限环存在唯一性的结论。  令,我们假设在（ - ∞，+∞）上f（x）和g（x）是连续的，存在两个数0 +∞， - ∞0，使得在x上xg(x)0; G()=≤+∞, G()=≤+∞.并且,函数F（x）和g（x）满足（*）的存在唯一定理条件。 显然，原点（0,0）是唯一的奇点。对于系统（*），我们做菲利波夫变换z =G（x）。因此，（*）的运动轨迹在x-y右半平面上的区域0x转换为积分曲线方程。 对z-y平面上的区域0≤z ;（*）的运动轨迹在x-y左半平面上的区域x0转化为积分曲线方程 对（z，y）平面上的区域0≤z ， 除非特别说明，我们总是假定函数(z)(i=1,2)对z是连续可微的，并在z = 0处等于零。  显然，通过曲线y=(z)(i=1,2)上的点(,())的轨迹，必须和y轴相交于A和B，0 ,≥0,或 ≤0,0 . 1..状态函数介绍  我们假设 (z) (i=1,2) 存在并且给定F(z)=(z),的存在我们提出下面三个状态函数：  1）构造一个能量函数λ(z,y) = /2+ z,在（*）的弧上，通过点(z, F(z))（见图1）易得： (3) 以及 (4) 通过（3）和（4），定义状态函数 由，我们得到 性质1：是连续函数，如果存在两个数0z1z2,使得0 , 那么=0在（z1,z2）至少存在一个实根，即系统(* )至少存在一个极限环，在这个系统里面F(z)是变号的 性质2：若F’(z)≡0, 则(0,0)是中心点;若F’(z)≥0 (F’(z)≤0), F’(z)?0, 则(0,0)是一个稳定（不稳定）的焦点；当F(z)是变号时，这是保证系统(*)有极限环的必要条件。（2）构造能量函数λ(z,y) = /2 +z,通过或者它的表达式 式（5） 我们得到： 然后我们定义这样的状态函数： (6) 注意 1/(F(z)-y)0 , 0和 (6), 我们得到 性质3 是连续函数，如果存在两个数,使得0, 那么=0在上至少存在一个实根，即系统(*)至少存在一个极限环， 性质4 如果，则（0,0）是中心；如果F(z)≥0 (F(z)≤0)，则（0,0）是稳定（不稳定）中心点；当F(z)是变号时，这是保证系统(*)有极限环的必要条件 3）我们假设L是一个属于(*)的过的闭轨线，并且有，注意到并且关于t的增长趋势就是关于y的增长趋势（见图一），我们得到于是我们定义状态函数为 (7) ，我们得到 性质5 如果F’(z)是一个连续函数，是一个连续函数，；如果 F’(z)≠0且当0 或系统(*) 至多有一个极限环时,那么 ≠0；当是变号时，这是保证系统(*)有极限环的必要条件 对公式（7）运用分部积分，我们得到 (8) 由（8）我们得到 性质6 的变号可能改变的符号, 就是说系统(*)可能有多个极限环。 图.1 图.2 3. 极限环的结论 我们假设当 0 z 1时 有F’(z)≤ 0，易知当充分小时有 定理1 [3] 假设：i)存在δ10使得F(δ1)=0 ， F(z)0 ( 0zδ1 ), ii) 存在0δ0δ1,使得对z0，有 F’(z)0. 从而系统 (*)只有一个稳定的极限环. 证明： 参见 图一和公式（6），设Φ2(Z0)为： 由文