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根的有哪些信誉好的足球投注网站法求小球浸入深度 一 前言 在许多实际问题中，常常需要解非线性（实）函数方程 =0 （1.1） 即求方程（1.1）的解。方程（1.1）的解又称方程的（实）根或函数的零点。通常，很难求得方程（1.1）的准确解。我们将在本文中讨论方程（1.1）的解的数值方法。求非线性方程（1.1）的解，除了一些特殊的方程，如二次多项式方程，一般需要应用迭代法，即从给定的一个或几个初始近似值（简称初始值），，…出发，按某种规律产生一个迭代序列 ，，…，，…，，…， （1.2） 使它收敛于方程（1.1）的一个解p: =p。这样，当k充分大时，如k=n,则取作为p的近似值：p。 同时，我们也要讨论迭代序列的收敛性、收敛速度和误差估计。 解线性方程组的迭代法收敛是指，对任意给定的初始近似，迭代序列都收敛于方程组的解。然而，对于解非线性方程组的迭代法来说，这种要求过于苛刻。若从任何可取得的初始值出发，由一迭代法产生的迭代序列都收敛于方程（1.1）的解，则称该迭代法为大范数收敛；若选取初始值充分接近于方程（1.1）的解p，或者说存在解p的某一临域(p-,p+)使得在其中任选的初始值，迭代序列都收敛于p,则称该迭代法为局部收敛。 为了讨论收敛速度，我们先给出一种衡量它的标准——收敛阶数。假设一个迭代法收敛（局部或者大范围），=p，p是方程f(x)=0的一个解。令 =-p 若存在正实数和非零常数C，使得 =C， (1.3) 则称该迭代法为阶收敛，或者说它的收敛阶数为。若为正整数，则可将（1.3）式改写成 = （1.4） 的大小反应了收敛速度的快慢。若=1，则说该迭代法是线性收敛的；若1，则说该迭代法为超线性收敛。 通常，局部收敛方法比大范围收敛方法更快些。因此，一个合理的算法是先用一种大范围收敛方法求得接近于根的近似值，再以其作为新的初始值使用局部收敛方法。 假设一个迭代法收敛，迭代序列{}收敛于方程（1.1）的一个解p：=p，我们则可取足够大的k，如k=n,以作为p的近似值：p。但终究取多大n能方便使达到所需的精度要求？这就要求我们给出迭代终止准则。通常有下面一些迭代终止准则： 若|f()|TOL1（误差容限），则在第n步终止迭代，取：p。 若|-|TOL2,则终止迭代，并且取p。 若TOL3，则终止迭代，取p。 在实际应用迭代法解方程（1.1）时，应根据f(x)的性质和实际精度要求来选择上述迭代终止准则，并且给出最大迭代次数以避免无限循环迭代下去。 在本文中，我们主要是用二分法来解非线性方程以及小球浸入深度问题。 二 方法介绍 1逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 为明确起见，不妨假定f(a)＜0,f(b)＞0.从有根区间[a,b]的左端点=a出发，按某个预定的步长（譬如取h=,N为正整数）一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“有哪些信誉好的足球投注网站”，即检查节点=a+kh上的函数值f()的符号，一旦发现节点与端点a的函数值异号，即f()＞0，则可以确定一个缩小了的有根区间[,],其宽度等于预定的步长h。 在具体运用上述方法时，步长的选择是个关键，很明显，只要步长取得足够小，利用这种方法可以得到具有任意精度的近似根。不过，当缩小时，所要有哪些信誉好的足球投注网站的步数相应增多，从而使计算量增大。因此，如果精度要求比较高，单用这种逐步有哪些信誉好的足球投注网站方法是不合算的。 2 二分法 通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 ，]中点 ，计算。如果＜0,则继续在区间[，]上有哪些信誉好的足球投注网站；如果＞0，则继续在区间[，]上有哪些信誉好的足球投注网站；如果=0，则就是方程=0的根。 理论依据：区间套定理和收敛序列的性质。即逐渐二分有根区间，得一系列有根区间 ，得三个序列 ，，，有 ，且 ，所以用某个区间的中点 作为根的近似值。 二分法的计算步骤： 步1 准备 计算f(x)在有根区间[a,b]端点处的值f(a),f(b). 步2 二分 计算f(x)在区间中点处的值 f(). 步3 判断 若f()=0则即是根，计算过程结束。否则作如下检验： 若f()与f(a)异号，则根位于区间（a, ）内，这时以代替b; 若f()与f(a)同号，则根位于区间（，b）内，这时以代替a. 反复执行步2和步3，直到区间[a,b]长度缩小到允许误差范围内，此时区间中点即可作为所求的根。 从以上可以看出，每次运