概率论与数理统计总结之.docVIP

第二章 随机变量及其分布 随机变量： 设随机试验的样本空间为S={e}，X=X{e}是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X{e}为随机变量 一般以大写字母X,Y,Z,W,…表示随机变量，而以小写字母x,y,z,……表示实数 离散型随机变量： 全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个的随机变量 ？怎么判断可列无限多个呢？ 离散型随机变量的分布律： 1)等式形式表示为 … 2)表格形式表示： … … … … 三种重要的离散型随机变量： （0-1）分布 设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是 则称X服从（0-1）分布或两点分布 其分布律也可写成： X 0 1 1-p p 伯努利试验、二项分布 伯努利试验：设试验E只有两个可能结果：A及，则称E为伯努利试验，设P(A)=p(0p1),此时P()=1-p。 将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X是一个随机变量，且满足 ， 称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为X～b(n,p) 泊松分布 设随机变量X所以可能取的值为0,1,2，…，而取各个值的概率为 ，k=0,1,2,…… 其中λ0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～π（λ） 非离散型随机变量: 其可能取值不能一个一个地列举出来 非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于0 分布函数： 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数 对于任意实数,(),有 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。 ·分布函数的基本性质： F(x)是一个不减函数 0≤F(x)≤1且 F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的。 一般，设离散型随机变量X的分布律为…… 分布函数为即 分布函数F（x)在（k=1,2,……）处有跳跃，其跳跃值为 连续型随机变量： 如果对于随机变量X的分布函数F（x)，存在非负函数f(x)，使对于任意实数x有，则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度 连续型随机变量的分布函数是连续函数 ·概率密度的性质： f(x)≥0 对于任意实数 若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x) 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。 三种重要的连续型随机变量： 均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度 0，其它， 则称X在区间（a,b)上服从均匀分布，记为X～U(a,b). 该随机变量X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的，或者说它落在（a,b)的子区间内的概率只依赖与子区间的长度而与子区间的位置无关。 X的分布函数为 0，xa, , 1,x≥b 指数分布 设连续型随机变量X的概率密度为 其它， 其中θ0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布 X的分布函数为 0，其它 ·服从指数分布的随机变量X具有以下性质：（无记忆性） 对于任意s,t0,有｜ 证明：｜ 正态分布 设连续型随机变量X的概率密度为 其中μ,σ（σ0)为常数，则称X服从参数μ,σ的正态分布或高斯分布，记为X～N ·f(x)具有以下性质： 曲线关于x=μ对称，对于任意h0有 当x=μ时取到最大值 X离μ越远，f(x)的值越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X落在这个区间上的概率越小 ·f(x)的形状特性： 固定σ，改变μ的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状，可见正态分布函数的概率密度曲线y=f(x)的位置完全由参数μ所确定，称μ为位置参数; 固定μ，改变σ的值，由于最大值,可知当σ越小图形变得越尖，因而X落在μ附近概率越大; 其分布函数为： 当μ=0，σ=1时称X服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用，表示，即有=，= 易知 引理：若X～N(μ,),则～N(0，1) 由已知的随机变量X的概率分布求它的函数Y=g(X)(g(·)是已知的连续函数）的概率分布： 设随机变量X具有概率密度又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)0（或恒有g(x)0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为 0，其它， 其中α