概率论与数理统计末总结.docVIP

第六章 极限理论 §6.1随机变量序列的收敛性 §6.1.1以概率1收敛 设是随机变量序列，若存在随机变量，使得，则称随机变量序列以概率1收敛于，即几乎处处收敛于 §6.1.2依概率收敛 设是随机变量序列，若存在随机变量，对于任意，有，则称随机变量序列依概率收敛于 §6.1.3依分布收敛 设随机变量的分布函数分别为，如果对的每个连续点都有，则称分布函数列弱收敛于分布函数，依分布收敛于 §6.1.4三种收敛的关系 以概率1收敛依概率收敛依分布收敛 §6.2特征函数 §6.2.1特征函数定义 设是一个随机变量，称为随机变量的特征函数 离散型随机变量的特征函数 设离散型随机变量的分布律为，则的特征函数为 连续型随机变量的特征函数 设连续型随机变量的密度函数为，则的特征函数为 常用分布的特征函数 单点分布的特征函数为 分布的特征函数为 二项分布的特征函数为 泊松分布的特征函数为 均匀分布的特征函数为 均匀分布的特征函数为 正态分布的特征函数为 标准正态分布的特征函数为 指数分布的特征函数为 §6.2.2特征函数的性质 若，其中为常数，则 若相互独立，则 若存在，为的特征函数，则 §6.2.3特征函数唯一决定分布函数 随机变量的特征函数一致连续 随机变量的特征函数非负定 设随机变量的分布函数为，特征函数为，则对的任意两个连续点 ，有 设连续型随机变量的密度函数为，特征函数为，如果，则 随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定 §6.2.4分布函数的再生性 二项分布 设与相互独立，则 正态分布 设与相互独立，则 泊松分布 设与相互独立，则 分布 设与相互独立，则 §6.3大数定理 设是随机变量序列，数学期望存在，若对于任意,有，则称随机变量序列服从大数定理 利用契比雪夫不等式，有 即当时，有，则随机变量序列服从大数定理 §6.3.1契比雪夫大数定理 若随机变量满足以下两个条件，则称随机变量序列服从大数定理 随机变量两两不相关 ，即方差有界 证明：由于，而恒成 立 则有 契比雪夫大数定理说明，当足够大时，只要满足定理条件， §6.3.2辛钦大数定理 若随机变量满足以下两个条件，则称随机变量序列服从大数定理 随机变量独立同分布 数学期望，即数学期望存在 证明：设独立同分布，其相同的特征函数记为，记 由于，因而 则 对于任意，有 由于是退化分布的特征函数，故有 §6.3.3伯努利大数定理 设是重伯努利试验中事件出现的次数，是事件在每次试验中出现的概率，则对任意，有 §6.3.4马尔可夫大数定理 对随机变量序列，若满足，则对任意，有 §6.4中心极限定理 §6.4.1中心极限定理 设为相互独立的随机变量序列，数学期望和方差都存在，令，若对于一切实数，有， 则称随机变量序列服从中心极限定理 §6.4.2独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列独立同分布，且，，若记 则对于任意实数，有 §6.4.3De Moivre-Laplace中心极限定理 设随机变量，则对于任意实数，有 泊松定理 二项分布收敛于泊松分布 收敛条件： 拉普拉斯定理 二项分布收敛于正态分布 收敛条件：