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概率论与随机过程 复习参考 ----可参考从中取题做为考试题 概率基本概念 1．需掌握概念： 随机试验，样本空间。 随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件，事件间的关系（包含，相等，和，积，差，互斥，互逆），完备事件组（全包含，不重复），运算律（德摩根律），事件的描述及转换。 记数法则（乘法定理、加法定理），古典概型，抽样问题（可否放回、是否有序），分配问题，几何概型 概率的性质，条件概率（两种理解方式），全概率公式，贝叶斯公式（先验概率，后验概率）。 事件独立性，两两独立与相互独立 2．公式 ，注意条件不变 条件概率 乘法定理 全概率公式 贝叶斯公式 独立 3．习题 3 设A,B是两件事件且P(A)=0.6, P(B)=0.7. 问：（1）在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下Ｐ(AB)取得最小值，最小值是多少？解：， 且 取最小值，P(AB)取最大值， 当时，=1取最大值，P(AB)取最小值， 10 在11张卡片上分别写上Probability，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。 解：A….. 样本空间，但由于正确排列中有重复字母 正确排列的样本点数为 11 将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：3个球放入4个杯子有种放法（每个球有4种选择，共3只球） 杯中最大个数为1：从4只杯中任选3只，每只杯中一个球，则 杯中最大个数为2：从4只杯中任选一只，从3只球中任选两只放入，剩余1球放入另外3个杯中的某一个中，则 杯中最大个数为3：3只球放入4只杯子的任一个中 17 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率： （1）两只都是正品 （2）两只都是次品 （3）一只是正品，一只是次品 （4）第二次取出的是次品 解：首先建模。设={第i次取出的是正品} ={第i次取出的是次品} （） (1) (2) 21 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：建模。设A={是男性}， B={是女性} C={是色盲} （全概率公式） 且 34 将A,B,C三个字母一一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其它一字母的概率都是，今将字母串AAAA, BBBB, CCCC之一输入信道，输入AAAA, BBBB, CCCC的概率分别为，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？ 解：设 A={输入AAAA} B={输入BBBB} C={输入CCCC} H={输出ABCA} 则 由贝叶斯公式： 随机变量及其分布 1． 需掌握概念 复习下微积分公式（以及其他相关数学，比如随机过程要用的三角变换等） 随机变量，分布函数，分布函数性质（不减、右连续、[0,1]，-∞，∞） 离散型随机变量，分布律，性质（求和=1）。常见分布的分布律（0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，几何分布），二项分布→泊松分布，几何分布无记忆性 连续型随机变量，概率密度函数，概率密度函数的性质（非负，积分=1），事件的概率，分布函数与概率密度的关系，常用的概率分布（均匀分布，指数分布，正态分布），正态分布性质，正态分布标准化 求随机变量函数，一般方法（离散型、连续型），（分段）公式法 2．公式 3．习题 4 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率位p，失败的概率为q=1-p (0p1). (1) 将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。 (2) 将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。 (3) 一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。 解：(1) 事件{X=k}表示前k-1次试验失败，第k次成功，因此X的分布律为 (1) 事件{Y=k}表示前k-1次中成功r-1次，第k次成功，因此Y的分布律为 (2) 事件{X=k}表示前k-1次投篮失败，第k次投篮成功，则X的分布律为 X取偶数的概率 5一房间有3扇窗户，只有一扇打开，有一只鸟要飞出房间，设它选择窗户是随机的，求： 1）以X表示鸟飞出房间试飞的次数，求X分布律 2）假设鸟有记忆，没扇窗户尝试次数不多于一次，以Y表示鸟飞出房间试飞的次数，求X分布律 3）求P{XY}及P{XY} 12 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为