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概率论基础知识 第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望 年龄 18 19 20 21 ∑ 人数 5 15 15 5 40 §4.1.1离散型随机变量的数学期望 例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为： 若令x表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x的分布律为 x 18 19 20 21 p 于是，x取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为 定义1：设x为离散型随机变量，其分布律为如果级数 绝对收敛，则此级数为x的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)= 意义：E(X)表示X取值的（加权）平均值 例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：X1 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6 X2 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均中环数为 E(X2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X1) E(X2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。 例3：设 ，求E(X) 解：由于 ，其分布律为 ，k=0,1,2…,所以 例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？ X 4 5 6 7 … n … P 0.2 0.8 0.2 解：令X表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X的分布律为 于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为 由于 ,求导数 将x=0.8代如上式，便得 将此结果代入原式便得：（次） §4.1.2连续型随机变量的数学期望 ? 绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，记为E(X)，即 ? ， ? 例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数： 这里a,k均为已知正数。试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。 W的分布函数为? 两边求导，使得 ? 进而便可求得W的数学期望 由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度?w(z)，而根据V的概率密度?v(v)也可直接求出W的数学期望值，即 §4.1.3随机变量函数的数学期望值 1.一维随机变量函数的数学期望 定理1：设X为随机变量，Y=g(X), 如果X为离散型随机变量，其分布律为 ，且级数 如果X为连续型随机变量，其概率密度为?(X)，且积分 绝对收敛，则有 证略 X -1 0 1/2 1 2 P 1/3 1/6 1/6 1/12 1/4 例8：已知X的分布律为 求： 解： 例9：设 ，求 解： （令 m=k-2） 例10：设 ，求 解：由于X的概率密度为 于是 例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知， 并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？ 解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数 由于 ，即其概率密度为 ? 于是国家的平均收益为 令 解得 a=3500（吨） 但 ，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。 2.二维随机变量函数的数学期望 定理2.设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y) （1）如果(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为 （2）如果（X，Y）为二维离散型随机变量?(χ,y) ? 证略。 例12.设(X,Y)的概率密度为 试求E( ) §4.1.4数学期望的性质 性质1.若c为常数，则E(c)=C 性质2.若c为常数，X为随机变量，则E(cX)=cE(X) 性质3.设X,Y为任意两个随机变量，则E(X±Y)=E(X) ±E(Y) 推广：设 为n个随机变量，则有 性质4.如果X,Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y) 推广：如果n个随机变量X1,