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概率论备要与随机数 报告人：高波 2011年11月28日 内容提要: 1随机事件,随机事件的概率,随机变量,随机变量的分布函数,随机变量的期望和方差,随机变量的矩母函数和特征函数,随机向量,随机变量的独立性 2极限定理 3随机数 4Gauss系 一 概率论备要 (一)概率公理系统 一次随机试验可能出现的一个结果，称为一个基本事件，或样本点，记为。全体基本事件的集合记为，称为必然事件，或样本空间。对的某些子集组成的类F,如果它满足下列条件： (1) (2) (3) 则称为一个事件体，或代数。中的集合称为随机事件。直观上可以理解为可以描述其概率的事情。它实际上包含了所有我们“感兴趣”的集合。概率理论就是在这个基础上展开的。 由的定义可以推出: 中元素的有限交,任两个元素的差,对称差,交均在中。 在上定义的非负集函数,称为概率，如果满足下列条件： （1） （2），只要，就有，其中示没有基本事件的空集。 值得注意的是，当样本空间与事件体都确定以后，Kolmogorov公理系统仍旧容纳不止一个取概率运算。也就是说在同一个样本空间与同一个事件体上，可以存在不同的取概率运算。下面举一个著名的贝郎特(Bertrand)奇论来说明。 问题是:在半径为1的圆内随机地取一条弦,问其长超过的概率等于多少? [解法1] 任何弦交圆周两点,不失一般性,先固定其中一点于圆周上,以此点为顶点作一等边三角形,只有落入此三角形内的弦才满足要求,这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3,故概率为1/3.如图(a)  [解法2] 弦长只跟它与圆心的距离有关,而与方向无关,因此可以假定它垂直于某一直径.当且仅当它与圆心的距离小于1/2时,其长才大于,因此所求概率为1/2.如图（b） [解法3] 弦被其中点唯一确定, 当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时,弦长才大于,此小圆面积为大圆面积的1/4,所以概率为1/4.如图（c） 同一问题有三种不同的答案,细究其原因,发现是在取弦时采用了不同的等可能假设.解法1假定端点在圆周上均匀分布,解法2假设弦的中点在直径上均匀分布,解法3认为弦的中点在圆内均匀分布.这三种答案是针对三种不同的随机试验,对于各自的随机试验而言,它们都是正确的。 概率空间：给定样本空间及上的一个域,以及上面提到的上的集函数(概率)，则称三元组为概率空间。此时称为可测空间。 Borel集与Borel函数 样本空间的子集族F，满足： ①非空 ② ③ 则称F是一个域。 由测度论知识可以知道，对样本空间的任意子集族F，都存在包含F的最小域。 R中包含所有开区间的最小域，称为Borel集,记为B。值得一提的是，B和包含所有形如的最小域是一样的。中包含所有开矩形的最小域，称为d维Borel集，记为。由实变函数知识，Borel集中的元素都是Lebesgue可测的，但，他们之间相差一个Lebesgue零测集。 可测空间到可测空间的可测映射，即满足的函数：，称为Borel可测函数，简称Borel函数。 （二）随机变量 一个随机地取实数值的量称为随机变量，如果对于任意实数，样本点的集合都是一个随机事件。用测度论的观点来看，随机变量就是概率空间到可测空间的一个可测映射。 可见随机变量的定义依赖于给定的事件体。实值函数就是随机变量的分布函数。前面已经举例说明一个可测空间可以定义不同的概率，下面举例说明一个概率空间也可以定义无穷多个随机变量,而且可以不相关。 设，对任意，，定义。对每一个正整数n，定义映射：，容易验证是随机变量，而且是线性无关的。 随机过程：设为概率空间，为实的参数集（可以是离散的，也可以是连续的），定义在和上的二元函数：,如果对任意固定的,是上的随机变量，则称为该概率空间上的随机过程。 一般而言，根据随机变量取值的类型，把随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。对于前者，常用概率函数来描述，对于实值函数，随机变量的期望为：。对于后者，常用分布密度描述，对Borel可测函数，随机变量的期望为：。期望实际上就是一种平均，它是刻画随机变量的一个重要指标。在概率论中具有相当重要的角色。 下面的例子说明了期望的不足：（圣.彼得堡悖论）传说在圣.彼得堡街头曾流行过一种赌博，参见者实现垫付一笔钱，比如100个卢布，然后开始连续掷一枚均匀的硬币，直至首次出现人像朝上。若记首次出现人像朝上时投掷次数为n,则赌博者可得到个卢布，这时的决策问题是：参见赌博和不参加赌博哪个结果更合算？用变量X表示某人参与赌博的净回报，即,则可以计算出,也就是说赢的期望为无穷大，但赢的概率却很小。正是所谓的”辜负了期望”。可见仅有期望，对于随机变量的刻画是不够的。 方差定义为：,可见，方差实际上也是一种期望，是用来刻画随机变量波动程度的量。 下面介绍概率论中两个重要的函数：矩母函