模糊控制理论基础知识.docVIP

PAGE  PAGE 17 第二章 模糊控制理论基础知识 2.1 模糊关系 一、模糊关系 所谓关系R，实际上是A和B两集合的直积A×B的一个子集。现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下： 所谓A，B两集合的直积 A×B={(a,b)|a∈A，b∈B} 中的一个模糊关系，是指以A×B为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为，可见是二元模糊关系。 若论域为n个集合的直积，则 A1×A2×A3×……An 称为n元模糊关系，它的隶属函数是n个变量的函数。 例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系。 因为直积空间R=X×X中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系为 =0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+ 0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9) 综上所述，只要给出直积空间A×B中的模糊集的隶属函数，集合A到集合B的模糊关系也就确定了。 由于模糊关系，实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy子集的运算规则，这里不一一赘述了。 一个模糊关系，若对x∈X，必有=1，即每个元素X与自身隶属于模糊关系的隶属度为1。称这样的为具有自返性的模糊关系。 一个模糊，若对x，y∈X，均有 = 即(x,y)隶属于Fuzzy关系和(y,x)隶属于Fuzzy关系的隶属度相同，则称为具有对称性的Fuzzy关系。 一个模糊关系，若对x,y,z∈X，均 min[,] 则称为具有传递性的Fuzzy关系。 论域A×B为有限集时，模糊关系可以用模糊矩阵表示。 二、模糊矩阵 例如有一组学生组成集合x x={王二，张三，李四} 规定他们可以选学英、日、德、法四种外语中的任意几门，设这四门外语课组成的集合为y y={英,日,德,法} 且他们三个的期终考试成绩如表2-1所示： 姓名语种成绩王二 王二 张三 李四 李四英 法 德 日 英80 85 95 65 78如果把他们的考试成绩除以100，则可以认为他们和考试成绩之间构成的X×Y上的一个Fuzzy关系如表2-2所示： 英日德法王二 张三 李四0.8 0 0.780 0 0.650 0.95 00.85 0 0把上述写矩阵形式，即得： = 称此矩阵为“模糊矩阵”。其中每一个元素是在[0,1]闭区间取值。这是普通关系矩阵的扩展。 设A={a1,a2,……an}，B={b1,b2,……bn}，则模糊矩阵可写成 =(rij)= 式中0 rij 1；i=1,2,…，n；j=1,2…，m。rij表示集合A中第i个元素和集合B中第j个元素组成的序偶隶属于Fuzzy关系的程度。 2.2模糊矩阵 一、模糊关系矩阵的运算 定义1：设Fuzzy矩阵=[aij]和=[bij]，若有 Cij=∨[aij，bij]= aij∨bij，则 =[Cij] 为Fuzzy矩阵的并和，记作=∪ 定义2：设Fuzzy矩阵=[aij]和=[bij]，若有 Cij=∧[aij，bij]= aij∧bij，则称Cij=[cij]为Fuzzy矩阵和的交，记作=∩ 例1：已知： =， = 求∪及∩。 解： ∪== ∩== 定义3：设Fuzzy矩阵=[aij]，则[1-aij]称为的补矩阵，记作。 例2：已知=，求。 解： = = 定义4：若有Fuzzy矩阵∩，且=[aij]，=[bij]， 令=·且中的元素为 Cij= 则称为Fuzzy矩阵和的积。 例3：已知=，=，求·。 解 ·== 工理 · = 可见，一般地说，·≠·。 二、模糊关系的应用 例1：某家中子女与父母的长像相似的关系为 父 母子 女0.8 0.2 0.1 0.6用模糊矩阵表示为 = 该家中父母与祖父母的长像相似的关系为 用Fuzzy矩阵表示为 = 而Fuzzy矩阵的积·为 ·== 把·Fuzzy矩阵改写Fuzzy关系为 ·祖父 祖母子 女0.5 0.7 0.1 0.1这一例子说明，Fuzzy矩阵相乘时先取小后取大有实际中的现实意义。 2.3 模糊逻辑 在本世纪三十年代末期，数理逻辑已开始用于开关电路设计。四十年代末，数理逻辑和布尔代数已成为电子计算机科学的基础理论之一，这是因为电子计算机具有二值逻辑的特点。 在二值逻辑中，一个可以判断真假的句子称为命题，如果命题为真，其真值为“1”；否则，若命题为假，其真值为“0”。然而，在现实生活中