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习题6.1第三大题（3），271页： 首先易知级数在R上是处处收敛的，事实上，可以求出。 接下来验证级数在R上是一致收敛的：令，它为奇函数， 由于它为奇函数，所以 而级数 是收敛的，由优级数判别法可知原级数在R上一致收敛。 第十一次习题课讨论题参考解答 6月11日和12日 本次习题课讨论函数项级数，，为实轴上的某个区间。假设级数在上处处收敛。我们关心三个问题： 问题1：连续性问题，； 问题2：逐项积分问题： ； 问题3：逐项求导问题：。 当所考虑的级数在上一致收敛时，上述三个等式均成立。 讨论题涉及以下几个方面的内容 一． 函数级数收敛域 二． 一致收敛性 三． 幂级数的半径 四． 逐项求导与求积分 五． 级数求和 一． 函数级数收敛域 题1. 考虑级数关于的收敛范围。（课本习题第6章总复习题1（1），第291页） 解：（后面的答案对应的题目应该是）级数的一般项可写作。由此可见，级数收敛当且仅当，对充分大的。显然，当时，不等式不成立。故当时级数发散。考虑情形。 当时，。可见此时级数也发散。 当时，我们将写作，。不等式成立，当且仅当 或 。显然后一不等式当充分大时成立。 因此级数收敛，当且仅当。解答完毕。 题2. 求级数的收敛域. 解:由于级数的收敛半径。 并且在右端点处发散，左端点处收敛. 因此级数的收敛域为. 求解不等式,我们就得到级数的收敛域为或。 解答完毕。 题3. 考虑级数关于的收敛范围。（课本习题第6章总复习题1（4），第291页） 解：记，则且，当时。由此得。 由于，故根据比较判别法极限形式知，级数收敛，当且仅当级数收敛。而后一个级数收敛，当且仅当（Cauchy积分判别）。因此级数收敛，当且仅当。解答完毕。 二． 一致收敛性 题1. 讨论级数在区间上的一致收敛性。 解：对任意，级数都是Leibniz型级数，故级数在上处处收敛。分别记 和为级数的和函数以及部分和，则根据Leibniz定理得 ，。 由此可知级数在区间上一致收敛。解答完毕。 题2. 证明级数在区间上非一致收敛。 证明：反证。假设在区间上一致收敛。则根据Cauchy一致收敛准可知，对于 ，，使得 ，，，。 取，，则应有，，。 再取，则应有，。但这不可能成立。矛盾。证毕。 题3. 设函数在区间上连续，。设级数在上处处收敛，但两级数和中至少有一个发散。证明级数在上非一致收敛。（注：这课本质上是课本习题第6章总复习题4，第291-292页。回忆课本习题2.1题 6作比较。做比较后可看出，函数项级数与含参数的广义积分有许多相似概念和结论。） 证明：为确定起见。设假设发散。我们来证明级数不可能在上一致收敛。反证。假设在上一致收敛。则根据Cauchy一致收敛准则知，对，，使得 ，，，。 于上式中，令，并利用函数在区间上的连续性知 ，，。这表明级数收敛。矛盾。证毕。 三.幂级数的收敛半径 题1. 设幂级数在点条件收敛,则该幂级数在点的收敛情况是(A)；(B)；(C)；(D)。 解：案答为（C）。理由：首先不难确定题目中的两个幂级数的收敛半径均为1.由假设幂级数在点条件收敛，可知点位于它的收敛区间的端点，即 。于是。因此幂级数在点处发散。解答完毕。 题2.级数在收敛，试讨论实参数的取值范围。 解: 显然幂级数的收敛半径，且收敛域为 。 由于级数在收敛，则有 ，因此应有。解答完毕。 题3. 假设级数在处条件收敛，判断级数的收敛性： （A） 绝对收敛，（B）条件收敛 ，（C）发散 ，（D）不定。 解:答案为[A]，即级数绝对收敛。理由如下：由假设级数在处条件收敛可知，位于收敛区间的端点。因此幂级数的收敛半径为2，其收敛区间为。点位于收敛开区间的内部。因此幂级数在点绝对收敛，此即级数绝对收敛。解答完毕。 题4.记幂级数的收敛半径为，并假设幂级数的收敛半径为，问以下哪个结论正确？(A)；(B)；(C)。 解：结论(C)正确。 我们来证明。因为幂级数和的收敛半径均为1.根据幂级数的四则运算可知，它们的和的收敛半径至少是1，即。半径大于1是可能的。 例：，，则的收敛半径为1，而的收敛半径。另一个极端例子: 取 ，则的收敛半径。解答完毕。 题5. 已知的收敛域为，则的收敛半径为 （A）. （B）. （C）. （D）不确定. 解：答案为[C]。这是因为 。 另解：也可以根据定理（幂级数的收敛半径关于求导和求积分具有不变性）来证明。记，则。由定理知幂级数和从而和的收敛半径相同。解答完毕。 四．逐项求导与求积分，级数求和 题1.证明Riemann-Zeta函数在区间连续，并且具有各阶连续的导数。(课本第6章总复习题7，第293页) 证明：利用Cauchy积分判别法可知级数均收敛。对任意点，取处分小，使得。于是在区间上，级数有优级