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正交矩阵的对角线元素 L.米尔斯基，英国谢菲尔德大学 1. 下面出现的所有数字均被认为是实数，用来表示之中全部负数的个数.通过一点我们可以构造一个为线性空间.一个正交矩阵被称为特正交矩阵或非正常正交阵，是依据它的行列式的值是+1还是-1.所有矩阵被认为是矩阵. 以下引人关注的结论由A. Horn([1] 定理8)创立. 定理1 数字是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当位于有偶数个负坐标的形如的点的复包线上. 以上定理说明的对象是从这个结果中获得一个有效的标准，来判断给定的个数是否是特正交矩阵的对角线元素.实际上，我们有以下结论： 定理2 数字是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必要条件是 (1) (2) 其中被赋值为1或0是根据是偶数还是奇数. Horn([1] 定理9)得出定理2是在当全是非负的情况下，以及当N()是偶数时；此外，在所有情况下,条件1和条件2的必要性包含在他的论据中([1] p.627).上面给出的证明结合了不同的理论. 我们注意到定理2的2个结果. 推论1 数字是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必要条件是 (1) (2) 其中被赋值为1或0是根据N)是偶数还是奇数 推论2 数字是特正交矩阵的对角线元素，同时也是非正常正交阵的对角线元素的充分必要条件是 (1) (2) 很明显，推论2由定理2和推论1得出，推论1由定理2得出，凭借的事实是是非正常正交阵的对角线元素当且仅当是特正交矩阵的对角线元素. 我对他提供有用意见表示感谢. 2. 这里我们将需要一些初步的结果 引理1 对任意数字，我们有 () 最大数在所有中产生,= () (3) 最大数在所有中产生,= 首先，我们 同样，根据≥0或0把赋值为+1或-1 可得 这证明了(1).下面有 如果满足(3),对于符合条件≤0的，我们有 再次，根据0或者是≥0把赋值为+1或-1，对于那些的，根据≥0或者是0把赋值为+1或-1，那么(3)得到满足，我们有 显然，()式得证. 推论2 令, . 位于点的复包线上当且仅当，对任何数字.我们有 很明显的，这一结果表明了事实位于的复包线上当且仅当没有超平面可以把P从所有中分开.对这个标准结果的更深入的细节，请参看([2] pp.23-24) 作为定理1和引理2的导出结果，我们有 推论3 数字是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当对于任何数字我们能找到数字 (4) , (5) 3. 现在我们对定理2进行证明.首先假设数字是一个特正交矩阵的对角线元素，条件(1)显然满足，用形如 (6) , 然后，满足(4)的合适的,关系(5)是有效的.由于=1，至少有一个值.因此 (7) 其中数列的最大数满足(6)式 由推论1，这个最大数等于如果是奇数，或这个最大数等于如果是偶数.由(7)式可知，推论(2)是成立的.这证明了(1)和(2)的必要性. 下面，假设(1)和(2)以给出.令为任何值 由(1)我们明显有： (8) 现在，假设是奇数，是偶数.对满足的,我们有 (9) 当 ,都是奇数时，这种不平衡显然存在. , 利用(9)(1)和(2).我们推断，当是奇数时 因此，有式子(8)可知，我们有满足任何值的 (10) 但是，由引理1，选取适合条件(4)的数字是有可能的，这样(10)式的右边就等于 从而，选取同时满足(4)和(5)的数字是可能的，如推论3所述是特正交矩阵的对角线元素 参考文献 [1] A. Horn, Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix, Amer. J. Math. vol. 76, 1954, pp. 620-630. [2] T. Bonnesen and W.Fenchel,Theorie der konvexen Korper,Berlin,1934