正边形.docVIP

正十七边形 　　 尺规作法(无刻度） 　　步骤一： 　　给一圆O，作两垂直的半径OA、OB， 　　作C点使OC＝1/4OB， 　　作D点使∠OCD＝1/4∠OCA， 　　作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。 　　步骤二： 　　作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点， 　　再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 　　步骤三： 　　过G4作OA垂直线交圆O于P4， 　　过G6作OA垂直线交圆O于P6， 　　则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。 　　连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 历史 　　最早的十七边形画法创造人为高斯。高斯(1777~1855年)，德国数学家、物理学家和天文学家。在童年时代就表现出非凡的数学天才。三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域，其中许多都有着划时代的意义。同时，高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。 　　1801年，高斯证明：如果k是质数的费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。 　　道理 　　当时，如果高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目，高斯就不会画出这个正十七边形。这说明了你不怕困难，困难就会被攻克，当你惧怕困难，你就不会胜利。 正十七边形的证明方法 　　正十七边形的尺规作图存在之证明: 　　设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 　　故sin16a=-sina,而 　　sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 　　因sina不等于0,两边除之有: 　　16cosacos2acos4acos8a=-1 　　又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 　　2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 　　注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 　　x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a 　　y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 　　有: 　　x+y=-1/2 　　又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) 　　=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 　　经计算知xy=-1 　　又有 　　x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 　　其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a 　　y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 　　故有x1+x2=(-1+根号17)/4 　　y1+y2=(-1-根号17)/4 　　最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 　　可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出 数学未解之谜 一 数学基础问题。 1、 数是什么？ 2、 四则运算是什么？ 3、 加法和乘法为什么符合交换律，结合律，分配律？ 4、 几何图形是什么？ 二 几个未解的题。 1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地： 当k为奇数时 求 (1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=? 背景： 欧拉求出： (1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6 并且当k为偶数时的表达式。 2、e+π的超越性 背景 此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。 已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。 3、素数问题。 证明： ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … (s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。 背景： 此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。 美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。 希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的