步步高大轮复习讲义§集合的概念与运算.docVIP

§1.1　集合的概念与运算 2014高考会这样考　1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 复习备考要这样做　1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1． 集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的关系 (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则AB(或BA)． (2)真子集：若AB，且A≠B，则AB(或BA)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即A，B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若AB，且BA，则A＝B. 3．集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} UA＝{x|x∈U，且xA} 4. 集合的运算性质 并集的性质： A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝AB?A. 交集的性质： A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝AA?B. 补集的性质： A∪(UA)＝U；A∩(UA)＝；U(?UA)＝A. [难点正本　疑点清源] 1． 正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2． 注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：AB，则需考虑A＝和A≠两种可能的情况． 3． 正确区分，{0}，{} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{}是含有一个元素的集合．{0}，{?}，∈{?}，{0}∩{}＝. 1． (2012·江苏)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________. 答案　{1,2,4,6} 解析　A∪B是由A，B的所有元素组成的． A∪B＝{1,2,4,6}． 2． 已知集合A＝{x|a－1≤x≤1＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝，则实数a的取值范围是________． 答案　(2,3) 解析　集合B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1. 又∵集合A中a－1≤x≤1＋a. ∵A∩B＝，∴a＋14且a－11，∴2a3. 3． 已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∪B＝A，则m的可能取值组成的集合为________． 答案　 解析　∵A∪B＝A，∴BA， ∴当B＝时，m＝0； 当－1∈B时，m＝1； 当2∈B时，m＝－. ∴m的值为0,1，－. 4． (2012·江西)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　C 解析　当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1； 当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1； 当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1； 当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3， 由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素的个数为3. 5． (2011·北京)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 答案　C 解析　由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}． 由P∪M＝P得MP.又M＝{a}，∴－1≤a≤1. 题型一　集合的基本概念 例1　(1)下列集合中表示同一集合的是(　　) A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{2,3}，N＝{3,2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)} (2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________. 思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征． 答案　(1)B　(2)2 解析　(1)选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集