武汉宏图艺考函数的单调性最值函数的奇偶周期性.docVIP

函数的单调性、最值、函数的奇偶、周期性（六） 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续. 2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f(x)在点x=x0处有定义； (2)f(x)存在； (3)f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)，(g(x)≠0)也在点x0处连续。 ②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。 4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数. f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b). 5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义： 如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 问题讨论 ●点击双基 1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续. 答案：A 2.f（x）=的不连续点为 A.x=0 B.x=（k=0,±1,±2,…） C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…） D.x=0和x=（k=0,±1,±2,…） 解析：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=. 又x=0也不是连续点,故选D 答案：D 3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是 A.① B.②③ C.①④ D.③④ 答案：A 4.四个函数:①f（x）=;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 答案：②③④ 例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性 ，点x=0； ，点x=－1。 解：（1）当x→0－时，，，因此=－1， 而==1，∵， ∴在x=0处极限不存在，因此在x=0处不连续。 （2）∵，，，∴，因此函数在x=－1处连续。 【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。 剖析：（1）需判断f（x）=f（x）=f（0）. （2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续. 解:（1）∵f（x）=－1, f（x）=1, f（x）≠f（x）, ∴f（x）不存在.∴f（x）在x=0处不连续. （2）∵f（x）在x=3处无定义, ∴f（x）在x=3处不连续. ∴f（x）在区间［0,3］上不连续. 练习：讨论函数的连续性；适当定义某点的函数值，使在区间(－3,3)内连续。 解：显然函数的定义域为，当时，， ∴在上连续，在上连续。而在处不连续。 又∵，不妨设， 于是此时，在区间(－3,3)内连续。 例3.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a0)个单位后,向左转900,前进ar (0r1)个单位,再向左转900,以前进ar2 个单位,…….,如此连续下去 若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找