武科大级多学时高数期末试题与解答A.docVIP

2009级本科高等数学（二）期末试题与解答A （本科、理工类多学时） 一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．偏导数和在处连续是函数在该点全微分存在的（ A ）. A.充分条件； B. 必要条件； C. 充要条件； D.无关条件. 2．（ D ） A.； B. ； C. ； D. . 3．现有一半圆弧构件，线密度为，则其质量为（ B ） A.； B. ； C. ； D. . 4．若曲面：，则＝（ C ） A. ； B. ； C. ； D. . 5．已知函数，则＝（ B ） A.； B.； C.； D.. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6．直线与平面的交点为 ． 7．幂级数的收敛半径为 ． 8．设是周期为的周期函数，它在区间上定义为,则的傅立叶级数在处收敛于 ． 9． ． 10．设空间立体所占闭区域为，上任一点的体密度是，则此空间立体的质量为__1/6__． 三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 11．. 解：原式＝ （3分） ＝ （6分） ＝ （8分） 12．已知，求，. 解： （3分） （6分） ， （8分） 13．设函数由方程确定，求. 解：当时， （2分） 令，则 ，， （4分） 从而 （6分） 所以 （8分） 14．设，其中具有二阶连续偏导数，求. 解： （4分） （8分） 15．. 解：由题知： 所以 从而的收敛半径为. （3分） 又，则的收敛半径为. （6分） 所以的收敛半径. （8分） 16．设Ω是由,,所围的有界闭区域.试计算. 解： （2分） （4分） （6分） 四、试解下列各题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 17．设可微，且曲线积分与路径无关，求. 解：由积分与路径无关可知： 即： （2分） 从而 （4分） 又，所以 即： （6分） 18．计算，其中为下半球面的下侧. 解：取为面上的圆盘，方向取上侧，则 （3分） （6分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 19．设级数绝对收敛，条件收敛，证明条件收敛. 证明：由假设，与收敛，故收敛 （2分） 假若 绝对收敛，则由 得收敛，与题设有矛盾 （4分） 此矛盾说明条件收敛. （5分） 20．设，与在上具有一阶连续偏导数，，且在的边界曲线（正向）上有，证明： . 证明： （2分） （4分） （5分）