高中立体几何及练习答案.doc

立体几何 一．空间几何体的类型 1. 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。常见的多面体有：棱柱，棱锥，棱台。 2 .旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。常见的旋转体有：圆柱，圆锥，圆台。 二．几种空间几何体的结构特征 （一）棱柱的结构特征 1.棱柱的定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。其中两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻两个面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形，四面形，五边形......的棱柱叫做三棱柱，四棱柱，五棱柱..... 2 .棱柱的分类 棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 3.棱柱的性质 （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形； （2）直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形； （3）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； （4）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； （5）直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 （6）棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻是底周长，是高） S直棱柱表面 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底 ·h （二）长方体的性质 1. 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 2. 长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 3. 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = sin2α + sin2β + sin2γ = 1 注：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件） ⑤空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. ⑥若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. （三）棱锥的结构特征 1 .棱锥的定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角形，四边形，五边形......的棱锥叫做三棱锥，四棱锥，五棱锥......其中三棱锥又叫做四面体。 正棱锥的结构特征 如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 （1）平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； （2）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； （3）正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。 （4）正棱锥的侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。 注：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以. [注]：①各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等） ②若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 4.正棱锥的面积和体积公式： S正棱锥侧 = 0.5 c h’ (c为底面周长，h’为侧面斜高) S正棱锥全 = 0.5 c h’ + S底面 V棱锥 = 1/3 S底面·h (h为棱锥的高) (四) 圆柱的结构特征 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何