泛函分析连续线性算子与连续线性泛函.docVIP

第3章 连续线性算子与连续线性泛函 本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。 3.1 连续线性算子与有界线性算子 在线性代数中，我们曾遇到过把一个维向量空间映射到另一个维向量空间的运算，就是借助于行列的矩阵 对中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。 [定义3.1] 由赋范线性空间中的某子集到赋范线性空间中的映射称为算子，称为算子的定义域，记为，为称像集为算子的值域，记作或。 若算子满足： （1） （2） 称为线性算子。对线性算子，我们自然要求是的子空间。特别地，如果是由到实数（复数）域的映射时，那么称算子为泛函。 例3.1 设是赋范线性空间，是一给定的数，映射是上的线性算子，称为相似算子；当时，称为单位算子或者恒等算子，记作。 例3.2 ，定义 由积分的线性知，是到空间中的线性算子。若令 则是上的线性泛函。 [定义3.2] 设是两个赋范线性空间，是线性算子，称在点连续的，是指若，则；若在上每一点都连续，则称在上连续；称是有界的，是指将中的有界集映成中有界集。 [定理3.1] 设是赋范线性空间，是的子空间到中的线性算子，若在某一点 连续，则在上连续。 证明：对，设，且，于是，由假设在点连续，所以当时，有 因此，，即在点连续。由的任意性可知，在上连续。 定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子连续等价于若（中零元），则（中零元）。 例3.3 若是维赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则在上连续。 证明：在中取一组基，设 且，即，则 从而。于是 因此，，即在处连续，进而在上每点连续。 [定理3.2] 设是赋范线性空间，是的子空间到中的线性映射，则有界的充分必要条件是：存在常数，使不等式成立，即 证明：必要性。因有界，所以将中的闭单位球映成中的有界集，即像集是中的有界集。记，此时，对每个，由的定义有 ……………………（3.1） 即，而当时，不等式（3.1）变成等式。故有 充分性。设是的任一有界集，则存在常数使。 由知 故有界。证毕。 [定理3.3] 设是两个赋范线性空间，是从的子空间到中的线性映射，则是连续的充要条件是是有界的。 证明：充分性。设有界，则存在常数，使对一切，从而对有 即。所以，是连续的。 必要性。若连续但是无界的，那么对每个，必存在，使，令，那么，即，由的连续性，，但是另一方面，，引出矛盾，故有界。 定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用表示到的有界线性算子组成的集合。 例3.1 ，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。 例3.4 考察定义在区间上的连续可微函数全体，记作，其中范数定义为，不难证明，微分算子是把映入中的线性算子。 取函数列，显然，，但 因此，微分算子是无界的。 [定义3.3] 设是赋范线性空间，是从到的有界线性算子，对一切，满足的正数的下确界，称为算子的范数，记作。 由定义可知，对一切，都有。 [定理3.4] 设是赋范线性空间，是从到的有界线性算子，则有 证明：由，易得 ……………………………………（3.2） 根据的定义，对于任给的，存在非零，使 令，则有，因此 令得 ……………………（3.3） 由式（3.2）和式（3.3），便得 而，由定义易知。 例3.5 在上定义算子如下 （1）把视为到的算子，求； （2）把视为到的算子，求。 解：算子的线性是显然的，下面分别求。 （1）设：，任取，由于，从而 故是有界的，并且。另一方面，取，并且 于是 故。 （2）设：，任取，由于，从而 因此，是有界的，并且；另一方面，对任何使得的自然数，作函数 显然,且，而 所以，又有 因此，。 此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。 一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。