泛函的极值.docVIP

第2章 泛函的极值 在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。 2.1函数的极值性质 2.1.1 函数的连续性 任意一个多元函数, , 如果, 当 (或者说)时, 有 那么, 我们称在处是连续的, 记为。 2.1.2 函数的可微性 更进一步, 如果存在, 使得 那么我们称在处是可微的, 或者说存在(一阶)导数,记为 或者记为 其中为梯度算子(或者Hamilton算子, 见附1)。同理, 可以定义该函数的两阶导数 及更高阶导数。 这里也称为Jacobi矩阵。 如果函数在某点足够光滑, 那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开 其中为高阶小量, 分别为函数的一阶微分和两阶微分。 换个角度来看, 如果 其中为的线性函数, 而为的两次函数, 那么为的一阶微分, 为的两阶微分。 2.1.3 函数的极值 对于足够小的, 如果，总有, 那么我们称在有极大值。 如果，总有, 那么我们称在有极小值。这里为的邻域。 如果在某一点附近足够光滑, 那么在有极值的必要条件为 或者说 更进一步, 如果, 那么在有极大(小)值的充分条件为 或者说是 其中表示是负定矩阵。 2.2泛函的极值 2.2.1函数的邻域 定义在区间上的函数的一阶邻域定义为: 对于, 始终满足 我们称同时满足上述两式的函数的集合是的一阶邻域。同样可以定义函数的高阶邻域。 2.2.2泛函的极值 变分引理: 如果函数, 对于在上满足的、足够光滑的任意函数, 如果总是成立 那么在必有 证明: 用反证法。 假设有使得, 不失一般性设 。由, 一定存在, 使 这样我们总可以构造下面一个连续函数 其中 可以证明 这样 显然与引理条件矛盾, 所以对于任意的都有 以上结果容易推广到二维或更高维的情形。 如果泛函在的一阶邻域内都不大(小)于, 那么我们称泛函在有极大(小)值。 也就是说 , （2.2.1） 使取到极值的函数称为极值函数。 下面从最简单的泛函来讨论使泛函取到极值的必要条件。 如果使取到极值, 则对于的一阶邻域内的函数应有 或者 现在用变分引理导出泛函取极值的必要条件。取 由于, 因此 当足够小的时候, 属于的邻域。当以及给定以后, 应该是关于的函数 因为在处取极值, 应该是的极值点。根据函数极值的必要条件 这就意味着 如果令 那么有 考虑到的任意性，根据变分引理有 （2.2.2） 这就是该泛函极值问题的Euler方程。 如果只限定、而放松处的要求，则定义域 （2.2.3） 若是泛函在上的极值，限定 则必是泛函在上的极值，根据（2.2.2）有 (2.2.4) 代入（2.2.3）并考虑的任意性可得 (2.2.5) 要使在处取极值, 那么意味着必须同时满足（2.2.4）和（2.2.5） 对于更一般的泛函我们同样可以得到下面的泛函极值定理。 定理2.1 如果泛函在上达到极值，那么泛函在上的一阶变分满足 证明： 根据泛函极值的定义，如果泛函在上达到极大值, 那么必定存在的一个领域, 对于该领域内的任何一个函数, 使得泛函的增量不变号, 由前面的推导(1.4.6) 其中 显然, 当充分小时, 的符号由部分确定。如果, 我们总是可以调整的符号使得改变符号, 这与假设矛盾。 因此是泛函有极值的必要条件。 尽管不是泛函有极值的充分条件，但往往仍有意义。对于仅仅满足的泛函，我们称在该点取驻值。 2.2.3 泛函的Euler方程 由泛函所得到的微分方程（包括边界条件）称为泛函的Euler方程。 例2.1 的Euler方程为 例2.2 得到 上式称为Sturm-Liouville方程。结合边界条件, 构成第一边值问题的Sturm-Liouville问题。 例2.3 上述泛函可以写成 其一阶变分为 根据格林公式有 当边界上值给定时, ，