测评网高数学复习九讲极限与探索性问题的解题技巧.docVIP

第九讲 极限与探索性问题的解题技巧 【命题趋向】综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点： 1．数学归纳法 ①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)． ②解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目 ③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意． 2. 数列的极限 ①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限． ②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. ③数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列，这是一类新题型． 3．函数的极限 ①此部分为新增内容，本章内容在高考中以填空题和解答题为主．应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限． ②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算． ③利用两个重要极限求函数的极限． ④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点. 4.在一套高考试题中，极限一般分别有1个客观题或1个解答题，分值在5分—12分之间． 5.在高考试题中，极限题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而极限题是高考中的得分点． 6.注意掌握以下思想方法 极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想； 数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等. 此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高． 【考点透视】 1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念． 3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． 4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限. 注意：a不一定是｛an｝中的项. 2.几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝， 当an=a, bn=b时， （an±bn）=a±b; 例1. ( 2006年湖南卷）数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则 ( ) A. B. C. D.2 [考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用. [解答过程]由和得 故选A. 例2．（2006年安徽卷）设常数，展开式中的系数为，则_____. [考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力. [解答过程] ，由，所以，所以为1. 例3. （2007年福建卷理）把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于( ) （ ） A． B． C． D．2 [考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用. [解答过程] 故选D 例4. (2007年天津卷理)设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　． 思路启迪：由等差数列的公差是2，先求出前项的和为和通项． [解答过程] 故填3 小结: 1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在； （2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） C=C（C为常数）; （2） （）p=0（p＞0）; （3） =（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）; （4） qn=0（|q|＜1）. 例5. (2007年重庆卷理)设正数a, b满足则（ ） （A）0 （B） （C） （D）1 解: 故选B 小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2