浙江省高考考前理科数学大解答题拔高训练试题.docVIP

2012届浙江高考理科数学解答题拔高训练试题(10) 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 18．（本小题满分14分） 在△ABC中，已知角A为锐角，且． （1）将化简成的形式； （2）若，求边AC的长． 19．（本小题满分14分） 在数列中，a1＝1，当时，其前n项和满足：． （1）求； （2）令，求数列的前n项和． 20．（本小题满分15分） 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求： （1）异面直线AE与CF所成角的余弦值； （2）二面角C－AE－F的余弦值的大小． 21．（本小题满分15分） 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们 将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重 合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点 和点． （1）试用的代数式分别表示和； （2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位 置无关的定值； （3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、 乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明． （说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分） 22．（本小题满分14分） 已知函数的图象在上连续不断，定义：， ．其中，表示函数在上的 最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得 对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函 数”． （1）已知函数，试写出，的表达式，并判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由； （2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围． 2012届浙江高考理科数学解答题拔高训练试题(10) 参 答 18．（本小题满分14分） 解：（1） ． ………………………………7分 （2）由 在△ABC中，由正弦定理得： ． …………………………………14分 19．（本小题满分14分） 20．（本小题满分15分） 解：不妨设正方体的棱长为2，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(1，1，2)． （1）由＝(－1，0，2)，＝(1，－1，2)， 得＝，||＝， ·＝－1＋0＋4＝3． 又·＝||·||·cos〈，〉 ＝cos〈，〉， ∴cos〈，〉＝， 即AE与CF所成角的余弦值为． ……………………………………7分 （2）∵＝(0，1，0)， ∴·＝(－1，0，2)·(0，1，0)＝0， ∴AE⊥EF，过C作CM⊥AE于M， 则二面角C－AE－F的大小等于〈，〉， ∵M在AE上，∴设＝m， 则＝(－m，0，2m)， ＝－＝(－2，2，0)－(－m，0，2m)＝(m－2，2，－2m)． ∵MC⊥AE， ∴·＝(m－2，2，－2m)·(－1，0，2)＝0， ∴m＝， ∴＝(－，2，－)，||＝， ∴·＝(0，1，0)·(－，2，－)＝0＋2＋0＝2． 又·＝||·||·cos〈，〉＝cos〈，〉， ∴cos〈，〉＝， ∴二面角C－AE－F的余弦值的大小为． ……………………………15分 21．（本小题满分15分） 解：（1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以． 则． 令则． 同理可得：． …………………………………3分 （2）由（1）可知：． 在椭圆C：上，， 则（定值）． 是与和点位置无关的定值． …………8分 （3）第一层次： ①点是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴 的垂轴弦，直线分别交轴于点和点， 则． 证明如下：由（1）知： ． 在圆C：上，， 则． 是与和点位置无关的定值． ……………………10分 ②点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点， 是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点 ，则． 证明如下：由（1）知： 在双曲线C：上，， 则 是与和点位置无关的定值． ………………………12分 第二层次： 点是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴 的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则． 证明如下：由（1）知： ， 在抛物线C：上，． 则． 是与和点位置无关的定值． …………………………15分 22．（本小题满分14分） 解：（1）由题意可得，，． 于是． 若是为上的“阶收缩函数”