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海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 2010．5 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A B A D 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．1 10． 11．2 ； 12．48 13． 14． ；84. 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由， 可得 ， ………………………2分 即， 解得， ………………………4分 ∴， 故所求等差数列的通项公式为. ………………………5分 （Ⅱ）依题意，， ∴ ， ………………………7分 又， …………………9分 两式相减得 ………………………11分 ， ………………………12分 ∴. ………………………13分 16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：连结交于，连结 ， ， ， ………… 1分 ， ， ， ………… 3分 ， . ………… 4分 （Ⅱ）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，, , ………………………5分 , ………………………7分 异面直线与所成角的余弦值为 . ………………………8分 （Ⅲ）侧棱, , ………………………9分 设的法向量为, ，并且, ，令得，, 的一个法向量为 . ………………………11分 , ………………………13分 由图可知二面角的大小是锐角, 二面角大小的余弦值为 . .………………………14分 17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ………………1分 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况 . …………………2分 事件A所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 所以，. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为. ………………5分 （Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则. .………………………6分 4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量服从二项分布. 可取的值为0，1，2，3，4. .………………………8分 ， . .………………………10分 的分布列为: 0 1 2 3 4 .………………………12分 的期望为． .………………………13分 18.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）依题意得，所以， .………………………1分 令，得， .………………………2分 ，随x的变化情况入下表： ………………………4分 由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. ………………………5分 （Ⅱ） , .………………………6分 由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， .………………………7分 当时，，显然对任意恒成立； .…………………8分 当时，等价于， 因为，不等式等价于, .………………………9分 令， 则，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增， 所以在上的最小值为， .………………………11分 由于对任意恒成立等价于对任意恒成立， 需且只需，即，解得，因为，所以. 综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取