消费者理论的若干专题.docVIP

第二章 消费者理论的若干专题 本章将探讨消费者理论的其他主题。我们将从对偶理论开始，彻底考察效用、间接效用以及支出函数之间的联系。接下来会研究古典的“可积性”问题，我们想知道，一个关于收入和价格的函数必须要满足哪些条件，才能成为一个合格的效用最大化的消费者的需求函数。我们的理论为可观察的需求行为施加了各种约束，而该问题的答案就会给这些约束提供一个完整的说明。“显示偏好”是构建需求理论的另一种方法，本章也会关注这个理论。最后，通过探讨不确定条件下的选择问题，我们将对个体消费者的介绍做个总结。 2.1 对偶：一个详细的说明 前面说过，效用最大化问题和支出最小化问题的解在某种意义上是相同的，定理1.9非常正式地表达了这个思想。本节将进一步探讨直接效用函数、间接效用函数以及支出函数之间的联系，我们会表明，虽然从偏好的若干公理出发，消费者理论自然而然、一气呵成，但从支出行为的公理也能发展出一个同样（或等价）的理论。实际上，对每一个有关价格和收入的函数来说，一旦具有了支出函数的全部性质之后，也就成为支出函数了，一个性状良好（well-behaved）的效用函数就能产生出这样的支出函数。结论的本身很有趣，当用它来充分表达消费者需求行为理论的可观察的特征时，其真正的意义就一目了然。这个令人惊讶的特征源于所谓的“可积性定理”，下一节会详细介绍。考虑到该结论的重要性，本节可视为后面内容的铺垫。 2.1.1 支出和消费者的偏好 为了了解函数的构建方式，如图2.1（a）所示，选择并取值，得到的数值，再用这个数构建消费集上的“半空间”： 注意，是一个包含了超平面及其上方所有点的一个闭的凸集。现在保持而选择一个新的再建一个闭的凸集： 对所有的不断地重复这个过程，最后会形成一个无穷的交集： 见原书P.74，公式（2.1） 图2.1（b）的阴影部分画出了的一个有限的交集，从中大致可以看出的样子。可以想象一下，随着考察的价格逐渐增加，会有更多的集合并入到这个交集中，阴影部分的面积会越来越接近一个拟凹实值函数的上优集。这样，你可能会察觉到，用这些集合可以构建一个间接效用函数，它代表着凸的且单调的偏好。的确如此！下面的定理就说明了这一点。 定理2.1 由一个支出函数来构建一个效用函数 令满足定理1.7给出的关于支出函数的全部7条性质，同（2.1）中的一样，函数由下式给出： 那么，该函数必为递增的、无上界的且拟凹的。 你可能会奇怪，为什么要用这种方式来定义呢，毕竟用来给赋值的方式是多种多样的。为了了解个中原因，暂且忘了的含义，假设其实就是由某个效用函数产生的支出函数。现在，怎么利用的信息再推导出呢？注意，根据支出函数的定义，对所有的，有；而且对某些价格来说，该式常以等式成立。这样的话，鉴于关于是严格递增的，所以就是的最大值，使得。于是，当真是一个的支出函数的时候，刚才所作的构建工作恰好就是倒推出（或恢复，recover）产生该支出函数的效用函数。前面的过程告诉我们证明所采用的策略是：先说明是一个由定理2.1所定义的且满足了相关公理的效用函数；然后再表明，实际上就是由所产生的一个支出函数（这正是定理2.2的内容）。下面给出定理2.1的证明。 证明：注意，根据的定义，我们可以将写成： 首先必须要做的工作是对明确定义函数，即，必须证明集合包含了最大的元素。原因如下，首先，我们将该集合称为，因为关于是无上界且递增的，所以，必有上界以及一个最小的上界值。一定可以证明，因为是一个闭集，原因略去不表。 明确定义了之后，再来考虑一下递增的问题。 如果，那么： 见原书P.75，公式（P.1） 由于所有的成分（component）都不会小于的，根据的定义，有： 见原书P.76，公式（P.2） 将（P.1）和（P.2）结合在一起，意味着： 见原书P.76，公式（P.3） 因此，满足条件，但是满足的最大的，于是有，这表明是递增的。 在上无界的源于关于是递增的、凹的、齐次的和可微的等性质，以及的定义域是全部的这个事实。这里就不再进一步证明了（可参考定理2.2的证明）。 为了证明是拟凹的，我们必须说明，对所有的以及二者的凸组合来说，有。为了了解这一点，假设，由于关于是严格递增的，进而我们知道，以及： 见原书P.76，公式（P.4） 根据的定义，有： 将两个式子各自乘以和，然后相加，利用（P.4），有： 以及 因此，根据的定义，有，得证。 ■ 定理2.1说明，我们可以从一个支出函数出发，构建出一个效用函数，它表示了表示凸且单调的偏好，当然，偏好的性质远不止于此。如果我们从这个偏好和效应函数出发，会推导出一个相关的支出函数，终点又回到了起点！ 定理2.2 引