漫谈向量法求解面角.docVIP

向量法求二面角的原理、方法和释疑 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图1）或 （图2） 图1 图2 基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角． 二. 如何求平面的一个法向量: 例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别 为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。 略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1，,0) 、F(，1,0) 、 G(1,0，)由此得: 设平面的法向量为 由(及(可得 令y=1取平面的一个法向量为 评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。 三. 法向量的应用举例: 例题4. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小． 解 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），D（0，a，0）． ∴Q（2，2，0），D（0，4，0）， ∴． 面AA1D的法向量． 设面A1DQ的法向量， 则 ∴． 令a1=1，则， ∴． 二面角的平面角为锐角 ∴二面角A—A1D—Q的大小为． 评析（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。 （2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令，则，∴，∴二面角A—A1D—Q的大小 是的补角。所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。 例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。 解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系， 则S（0，0，）， A（0，0，0）， B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0）， ∴ ， 显然平面SBA的一个法向量为=(1，0，0)， 设平面SCD的一个法向量为=(x，y，z)，则⊥平面SCD ∴ 则 评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）但判断侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就不明显了，当不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案。 四. 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求解二面角. 原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系： 如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”， 此时两法向量在三个坐标平面的投影也 可以看成是“一进一出”，这时不难得出的夹角 就是二面角的大小，反之就不是。 其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想 要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢？ 如图7所示：平面ABC的法向量 若要法向量的方向“向上”,可设＝或 ＝,其中0；若要法向量的方向 “向前”,可设＝或＝,其中 ；若要法向量的方向“向右”，可设＝ 或＝,其中 所以，只要我们判断两个法向量的方向是 “一进一出”，那么所求的二面角的平面角就等 于两法向量的夹角，如果是“同进同出”， 那么 所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲。 例题6 改编自2007年福建高考题 如图，正三棱柱的所有棱长都为 ，为中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； 解：（Ⅰ）． 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系． 解略 （Ⅱ）设平面的法向量为． ，． 令，得平面的一个法向量 设平面的法向量为． ，． 令，得平面的一个法向量 所求的二面角的平面角是 1 θ β l α ω θ β l α D A B C A1 B1 C1 D1 图3 G E F x y z O（A） B A1 C1 B1 D1 D C Q z y x 图4 A z