点集拓扑学练习题参考答案.docVIP

点集拓扑学练习题（第6章） 一、单项选择题 1、设是一个拓扑空间，若对于,均有, 则是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：① 2、设，，则是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：① 3、设，，则是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：④ 4、设，，则是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：④ 5、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，则是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间 答案：③ 6、设是一个拓扑空间，若的每一个有限子集都是闭集，则是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间 答案：③ 7、设是一个拓扑空间，若对及的每一个开邻域，都存在的一个开 邻域,使得,则是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间 答案：① 8、设是一个拓扑空间，若对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存 在的一个开邻域,使得,则是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间 答案：② 9、设，，则是( ) ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间 答案：④ 10、设，，则是( ) ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正则空间 答案：④ 11. 设（X., T ）是度量空间，则（X., T ）不必是：（ ） 答案：C 12. 下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ D ） (A) 公理 (B) 公理 (C) 公理 (D) 公理 二、填空题 1．T1空间__不一定是______有限补空间，有限补空间 ___是______T1空间。(填” 是”或”不是”或”不一定是”)。 2. 正规空间的每一个 闭子空间 也是正规空间. 可分空间的每一个 开子空间 也是可分空间. 三．判断题 1、设，，则是空间.( 　 ) 答案：× 理由：因为是的一个闭集，对于点１和没有各自的开邻域互不相交，所以不是正则空间，从而不是空间. 注：也可以说明不是空间． 2、设，，则是空间.( 　) 答案：× 理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而不是 空间．故是空间. 注：也可以考虑点２和点３. 3、空间一定是空间.（ ） 答案：√ 理由：因为空间是正则的空间，所以对于空间中的任意不同的两点，是中的闭集，由于是正则空间，从而对于它们有各自的开邻域使得，所以是空间. 4．具有可数基的正则空间是正规空间。 （ √ ） 5．在A2且T3的拓扑空间中，紧致子集是有界闭集。 （ √ ） 6．在T0空间中，A的凝聚点的任一邻域中含有A的无限多个点 。（× ） 四．简答题（每题4分） 1、设是一个空间，试说明的每一个单点集是闭集. 答案：对，由于是空间，从而对每一个，点有一个邻域使得，即，故，因此,这说明单点集是一个闭集. 2、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，试说明是一个空间. 答案：对于任意，都是闭集，从而和分别是和的开邻域，并且有,.从而是一个空间. 3、若是一个正则空间，试说明：对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得. 答案: 对,设是的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含点的一个闭集.由于是一个正则空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以. 4、若是一个正规空间，试说明：对的任何一个闭集及的每一