王高雄版《常微分方程》习题解答.docVIP

习题5.2 02412—02 02412—03 1.试验证= 是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 解：令的第一列为(t)= ,这时(t)== (t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。 2.考虑方程组x=A(t)x (5.15)其中A(t)是区间a上的连续nn矩阵，它的元素为a(t),i ,j=1,2,…,n 如果x(t),x(t),…,x(t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式W[x(t),x(t),…,x(t)]W(t)满足下面的一阶线性微分方程W=[a(t)+a(t)+…+a(t)]W 解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t)e t,t[a,b] 解：w(t)=++…+ =+…+=+…+整理后原式变为 （a+…+a）=（a+…+a）w(t) =（a(t)+…+a(t)）w(t) b)由于w(t)=[ a(t)+…+a(t)] w(t),即=[ a(t)+…+a(t)]dt 两边从t到t积分ln-ln=即w(t)=w(t)e,t[a,b] 3.设A(t)为区间a上的连续nn实矩阵，为方程x=A(t)x的基解矩阵，而x=(t)为其一解，试证： 对于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常数； b)(t)为方程y=-A(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使(t) (t)=C. 解a)[ (t) (t)]= (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t) 又因为=-A(t) (t)，所以=-(t) A(t) [ (t) (t)]=- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0, 所以对于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常数 “”假设为方程y=-A(t)y的基解矩阵，则 [ (t) (t)]= [(t)] +(t) (t)=[- A(t) (t)]+ (t) A(t) )+ (t)[ A(t) (t)]=- (t) A(t) +(t) A(t) =0,故(t) (t)=C “”若存在非奇异常数矩阵C，detc0,使(t) (t)=C， 则[ (t) (t)]= (t)+ (t)=0，故(t)(t)=- (t) (t)A(t) (t)=- (t) A(t) 所以(t)=- (t) A(t), (t)=- (t) A(t)即(t)为方程y=-A(t)y的基解矩阵 4.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值. 证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。 （2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t) 5.设A(t),f(t)分别为在区间a上连续的nn矩阵和n维列向量，证明方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。 证明：设x,x,…x是x=A(t)x的n个线性无关解， 是x=A(t)x+f(t)的一个解，则x+, x+,…, x+,都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C,(I=1,2,…,n)使得+c=0,从而x+, x+,…, x+,在a上线性相关，此与已知矛盾，因此x+, x+,…, x+,线性无关，所以方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。 6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理： 的解，则是方程组 的解。 证明： （1） （2） 分别将代入（1）和（2） 则 则 令 即证 7．考虑方程组，其中 a)试验证 是的基解矩阵； b)试求的满足初始条件的解。 证明：a)首先验证它是基解矩阵 以表示的第一列 则 故是方程的解 如果以表示的第二列 我们有 故也是方程的解 从而是方程的解矩阵 又 故是的基解矩阵； b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件的解 而 8、试求，其中 满足初始条件 的解。 解：由第7题可知的基解矩阵 则 若方程满足初始条件 则有 若 则有9、试求下列方程的通解： a) 解：易知对应的齐线性方程的基本解组为 这时 由公式得 通解为 b) 解：易知对应的齐线性方程的基本解组为 是方程的特征根 故方程有形如的根 代入得 故方程有通解 c) 解：易知对应的齐线性方程对应的特征方程为故方程的一个基本解组为 因为是对