现代控制倒立摆系统仿真.docVIP

目录 倒立摆系统的构成 3 单级倒立摆数学模型的建立 3 传递函数 6 状态空间方程 6 系统Matlab 仿真和开环响应 7 稳定性与可控性分析 11 控制器设计 12 基于状态反馈的控制算法设计与仿真LQR 12 极点配置法 16 PID控制算法 19 实验结果及与仿真结果的对比分析 29 感想和建议 30 倒立摆系统的构成 图1 倒立摆系统的组成框图 如图1所示为倒立摆的结构图。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置、速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。 单级倒立摆数学模型的建立 在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示 图2 单级倒立摆模型示意图 那我们在本实验中定义如下变量： M 小车质量 （本实验系统 0.5 Kg） m 摆杆质量 （本实验系统 0.2 Kg） b 小车摩擦系数 （本实验系统 0.1 N/m/sec） l 摆杆转动轴心到杆质心的长度（0.3 m） I 摆杆惯量 （0.006 kg*m*m） F 加在小车上的力 x 小车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下面我们对这个系统作一下受力分析。下图3是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，和为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。 图3 倒立摆模型受力分析 分析小车水平方向所受的合力，可以得到等式： 应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： 即 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： （1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： 力矩平衡方程如下： 注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去和，由得到第二个运动方程： （2） 设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即《1，则可以进行近似处理：，，。用来代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下： （3） 传递函数 对方程组(3)进行拉普拉斯变换，得到 （4） 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。 由于输出为角度，求解方程组（4）的第一个方程，可以得到 把上式代入方程组（4）的第二个方程，得到 整理后得到传递函数： 其中 状态空间方程 系统状态空间方程为 方程组（3）对解代数方程，得到解如下： 整理后得到系统状态空间方程： 系统Matlab 仿真和开环响应 实际系统参数如下，求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的Matlab仿真。 M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m F 加在小车上的力 x 小车位置 θ 摆杆与垂直方向的夹角 T 采样频率 0.005秒 注意：在进行实际系统的Matlab仿真时，请将采样频率改为实际系统的采样频率。 传递函数： 在Matlab中，拉普拉斯变换后得到的传递函数可以通过计算并输入分子和分母矩阵来实现。求系统传递函数的m-文件内容如下： M = 1.096; m = 0.109; b = 0.1; I= 0.0034; g = 9.8; l = 0.25; q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; %simplifies input num = [m*l/q 0] den = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -