现代控制理论(续).docVIP

4.5 状态观测器 在4.2 节中介绍控制系统设计的极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。然而在实际情况中，不是所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要要估计不可用的状态变量。需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量，因为噪声通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个单一的微分过程可使信噪比减小数倍。有几种不用微分来来估计不能观测状态的方法。不能观测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的装置（或计算机程序）称为状态观测器，或简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接测量，这种状态观测器均称为全维状态观测器。有时，只需观测不可测量的状态变量，而不是可直接测量的状太态变量。例如，由于输出变量是能观测的，并且它们与状态变量线性相关，所以无需观测所有的状态变量，而只观测n-m个状态变量，其中n是状态向量的维数，m是输出向量的维数。 估计小于n个状态变量（n为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称为降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1 引言 状态观测器基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。在3.7节讨论的能观测性概念有重要作用。正如下面将看到的，当且仅当满足能观测性条件时，才能设计状态观测器。 在下面关于状态观测器的讨论中，我们用表示被观测的状态向量。在许多实际情况中，将被观测的状态向量用于状态反馈，以产生所期望的控制向量。 考虑如下线性定常系统 (4.27) (4.28) 假设状态向量x由如下动态方程 (4.29) 中的状态来近似，该式表示状态观测器。注意到状态观测器的输入为y和u，输出为。式（4.29）的右端最后一项包含被观测输出C之间差的修正项。矩阵起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量。当此模型使用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B之间存在差异时，由于动态模型和实际系统之间的差异，该附加的修正项将减小这些影响。图4.5所示为系统和全维状态观测器的方块图。 下面将详细讨论用矩阵A和B以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器，其中的附加修正项包含测量输出和估计输出之间的差。在讨论过程中，假设在此模型中使用的矩阵A和B与实际系统使用的相同。 图4.5 全维状态观测器方块图 4.5.2 全维状态观测器 在此讨论的状态观测顺的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（4.27）和（4.28）定义。观测器方程由式（4.29）定义。 为了得到观测器的误差方程，用式（4.27）减去式（4.29），可得 (4.30) 定义和之差为误差向量，即 则式（4.30）改写为 (4.31) 由式（4.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵A - KeC的特征值决定。如果矩阵A -KeC是稳定矩阵，则对任意初始误差向量e (0)，误差向量都将趋近于零。也就是说，不管x (0)和(0)值如何，都将收敛到x (t)。如果所选的矩阵A - KeC的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零(原点)。 如果系统是完全能观测的，则可证明可以选择。使得A - KeC具有任意所期望的特征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵，以产生所期望的矩阵A - KeCo 下面讨论这个问题。 4.5.3 对偶问题 全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵，使得由式（4.31）定义的误差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵A-KeC的特征值决定）。因此，全维观测的设计就变为确定一个合适的，使得A-KeC具有所期望的特征值。因而，全维状态观测器的设计问题就变成与4.2节讨论的极点配置问题相同， 考虑如下的线性定常系统 在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统 的极点配置问题。假设控制输入为 如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵K，使得矩阵得到一组期望的特征值。 如果μ1,μ2,…,μn是期望的状态观测器矩阵特征值，则通过取相同的μi作为对偶系统的状态反馈增益矩阵的期望特征值，可得 注意到和的特征值相同，可得 比较特征多项式和观测器系统（参见式（4.31））的特征多项式，和的关系为 因此，采用在对偶系统中由极点配置方法确定矩阵K，原系统的观测器增益矩阵K，可通过关系式确定。 4.5.4 可观测条件 如前所述，对于A - K