现代控制理论基础周军能控性和能观测性.docVIP

3.1 线性定常系统的能控性 　　　 ? ???? 1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输 出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量 的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即 能观测性问题。并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控 制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。 第一节???????? ??? 能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）： 一、 引例? 设单输入离散状态方程为： 初始状态为： 用递推法可解得状态序列： 可看出状态变量 只能在+1或-1之间周期变化，不受 的控制，不能从初态 转移到任意给定的状态，以致影响状态向量 也不能在 作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。 设单输入离散系统状态方程为： ????????????????????????????????????????(3-1) 式中， 为 维状态向量； 为纯量，且在区间 是常数，其幅值不受约束； 为 维非奇异矩阵，为系统矩阵； 为 维输入矩阵： 表示 离散瞬时， 为采样周期。 初始状态任意给定，设为 ；终端状态任意给定，设为 ，为研究方便，且不失一般性地假定 。 单输入离散系统状态可控性定义如下：??????????????????????????????????????????????? 在有限时间间隔 内，存在无约束的阶梯控制信号 ， , ，能使系统从任意初态 转移到任意终态 ，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。 由方程(3-1)的解 ???????????????????????????????????????(3-2) 可导出可控性应满足的条件。按定义，令 ，且 ，方程两端左乘 ，给出： ?????????????????? ?(3-3) 令 ??????????????????????????????????????????????(3-4) 该阵为 维。方程(3-3)表示非齐次线性方程组，含 个方程，含 个未知数 , 。根据线性方程组解存在定理可知，当矩阵 的秩与增广矩阵 的秩相等时，方程有解，否则无解。在 任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：能控阵 满秩，即 ??????????????????????????????????????????????? (3-5) 或能控阵 的行列式不为零 det ????????????????????????????????????????????????????? (3-6) 或能?????? 控阵 是非奇异的。这时，方程组存在唯一解，即任意给定 ，可求出确定的 ， , 。 已知满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘，其秩不变，故 ran rank rank ???????????????????(3-7) 交换矩阵的列，且记为 ，其秩也不变，于是有： ran rank ?????????????????????? (3-8) 使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至式(3-8)均称为能控性判据。 ， 均称为单输入离散系统能控性矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩阵 。 当rank 时，系统不可控，不存在能使任意 转移到 的控制。 从以上推导看出，当 不受约束时，能使任意 转移到 ，意味着至多经过 个采样周期便可完成转移，而 乃是系统矩阵 的阶数，或系统特征方程的阶次数。 以上研究假定了终态 。若令终态为任意给定状态 ，则方程(3-2)变为： ??????????????????????????????????????????????(3-9) 方程两端左乘 ，有 ???????????????????????????(3-10) 该式左端完全可看作任意给定的另一初态，其状态能控性条件能用以上推导方法得出完全相同的结论，故假定 是不失一般性的。 例3-1 初态为 ，试选择 ， ， 使系统状态在 时转移到零。 解?