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现代控制理论课程设计 评语： 考试（70） 报告（30） 总成绩 专 业： 班 级： 姓 名： 学 号： 指导教师： 基于LQR最优化的一级倒立摆控制系统设计 摘要 在控制理论上倒立摆使许多抽象的概念可以直观的表达出来。无论是在实践还是理论上都具有深刻的意义。可以用拉格朗日方法建模，设计倒立摆二次型最优控制器，通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。 关键词：二次型；倒立摆；稳定控制 前言 倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计；而后人们有参照双足机器人控制问题研究出二级倒立摆设备，从而提高了检验控制论和方法的能力，也拓宽了检验范围。 在控制理论上倒立摆使许多抽象概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以直观的表现出来。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。 一. 线性二次最优控制LQR基本理论 LQR控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。 线性二次最优控制LQR基本原理为，由系统方程： 确定下列最佳控制向量的矩阵K： 使得性能指标达到最小值： 式中：Q为正定（或正半定）厄米特或实对称阵 R为正定厄米特或实对称阵 下面是最优控制LQR控制原理图： 图1 LQR控制原理图 方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量u(t) 是无约束的。 对线性系统： 根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反馈矩阵K的值。 改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。但是Q不能过大。 二. 建立模型及分析 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示： 图2 直线一级倒立摆建模 其中： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下： 倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设，为足够小的角度，即可近似处理得： ，， 用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个方程如下： 取状态变量： 即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。则系统的状态方程为： 将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程： 这里设： 将参数带入有： 四个状态量，，，分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。 假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。 2.稳定性分析 对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析，小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线如下图所示 图3 小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线 由图可以看出，小车位移和摆杆角度都是发散的，所以倒立摆系统不稳定。 2．倒立摆能控性能分析 系统能控性是控制器设计的前提，由能控性矩阵M，利用MATLAB可得出Rank(M)=4,所以系统完全可控。 三．软件编程 程序如下：clear; A=[ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0]; B=[