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用放缩法证明不等式 不等式是高考数学中的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法。 ［例1］已知a，b，c是△ABC的三边，求证： ? ?证明：﹥∵=为增函数，又∵∴。 点评：学生知道要利用三角形的三边关系，但无法找到放缩的方法，难在构造函数。 ⒉利用函数的单调性 ［例2］求证：对于一切大于1的自然数n，恒有。 证明：原不等式变形为??? ， ?令? ?则? ，所以? 。 即? 是单调增函数（n=2，3，…），所以? 。故原不等式成立。 点评：一开始学生就用数学归纳法进行尝试，结果失败，就放弃了。若使不等式的右边变为常数，再用单调性放缩就好了。 ⒊利用基本不等式 ［例3］已知f（x）=x+(x﹥0) 求证：－ 证明：, 设?? （1） ? ??（2） （1）+（2）得 ??????????????????? ??? 点评：用数学归纳法证明，思路简单，但是难度很大，可以通过二项式定理展开，倒序法与基本不等式相结合进行放缩。 ⒋利用绝对值不等式 ［例4］设=，当时，总有，求证：。 证明：∵，∴，，， 又∵∴ 所以，∴=7。 点评：本题是一道函数与绝对值不等式综合题，学生不能找到解题的突破口，关键在于找到a，b，c与f（0），f（1），f（-1）的联系，再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。 ⒌利用不等式和等比数列求和 ［例5］求证：。 证明：=，利用不等式 ∴﹤=﹤。 点评：有些学生两次用错位相减进行放缩，但是没有找到恰当的变形放缩，对利用不等式进行放缩不熟悉。若经过“凑”与不等式相结合，再利用等比数列求和放缩就到了。 ⒍ 利用错位相减法求和 ［例6］已知a1, a2, a3, ……, an, ……构成一等差数列，其前n项和为Sn＝n2, 设bn＝, 记{bn}的前n项和为Tn, (1) 求数列{an}的通项公式；(2) 证明：Tn1。 ? 解：(1) a1＝S1＝1, 当n≥2时, an＝Sn－Sn－1＝2n－1; 由于n＝1时符合公式， ∴ an＝2n－1 (n≥1).? (2) Tn＝, ∴ Tn＝, ?? 两式相减得Tn＝＋＝＋(1－)－, ?? ∴ Tn＝＋(1－)－1。 ⒎ 利用裂项法求和 ［例7］已知函数在上有定义，且满足①对任意的 ②当时，.证明不等式. 证明：令，则.令，则，故在上为奇函数. 设，且由可得 ，则由题有，故，即，所以为 上减函数.从而函数在时，. 所以，即 . 点评：本题将数列与不等式、函数综合考查数学逻辑推理能力，分析问题能力，变形能力，可以用数学归纳法证明不等式，但学生解题的过程不过完善。若用裂项法进行数列求和放缩就简单 ⒏利用二项式定理展开 ［例8］已知数列满足(n∈N*),是的前n项的和，并且． ?? （1）求数列的前项的和；?? （2）证明：≤．（3）求证： 解： (1)由题意得 两式相减得 所以再相加 所以数列是等差数列．又又?? 所以数列的前项的和为．??????????? ????????? ???????? 而? ? ≤. （3）证明： ?? 点评：这是一道很有研究价值的用放缩法证明不等式的典例。考查了与 an 的关系，有些学生没有对an中的n进行讨论，也没有合并，虽用了二项式展开，但无法构造不等式进行放缩。对第3小题的放缩也可裂项法求和进行放缩。